- •Глава 1. Основные задачи математической статистики. Выборки и их характеристики.
- •§ 1. Предмет и задачи математической статистики.
- •§ 2. Генеральная и выборочная совокупность. Способы отбора.
- •§ 3. Статистическое распределение выборки.
- •§ 4. Полигон и гистограмма.
- •§ 5 Эмпирическая функция распределения.
- •§ 6. Числовые характеристики статистического распределения выборки.
- •§ 7. Числовые характеристики генеральной совокупности.
- •Глава 2.
- •§1 Понятие о статистических оценках параметров распределения.
- •§2. Точечные и интервальные оценки. Доверительный интервал. Точность оценки. Доверительная вероятность (надежность).
- •§3. Несмещенные, состоятельные и эффективные оценки.
- •§ 4. Точечная оценка генерального среднего по выборочной средней.
- •§ 5. Точечная оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной дисперсии.
- •§6. Метод моментов для точечной оценки параметра распределения.
- •Глава 3.
- •§1. Статистическая гипотеза. Основные понятия.
- •§2. Ошибки первого и второго рода.
- •§ 3. Статистический критерий. Критическая область. Область принятия гипотезы. Критические точки.
- •§ 4. Уровень значимости и мощность критерия.
- •§ 5. Виды критических областей.
- •§6. Методика проверки гипотезы.
- •§ 7. Некоторые типичные задачи проверки параметрических гипотез.
- •7.1 Проверка гипотез о среднем значении.
- •7.2 Сравнение дисперсий 2-ух совокупностей.
- •§ 8. Непараметрические гипотезы. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова.
- •8.1 Критерий Пирсона.
- •Глава 4.
- •§ 1. Основные понятия.
- •§ 2. Элементы теории корреляции. Анализ парных связей.
- •§ 3. Оценка показателя связи по выборочным данным. Корреляционное поле.
- •§ 4. Анализ коэффициента корреляции.
- •4.1 Точечная оценка коэффициента корреляции.
- •4.2 Интервальная оценка коэффициента корреляции и проверка значимости.
- •§ 5. Регрессионный анализ. Условные средние. Выборочные уравнения регрессии.
- •§ 6. Корреляционная таблица. Выборочные линии регрессии.
- •§ 7. Линейная регрессия. Выборочный коэффициент корреляции.
- •Глава 5. Основы дисперсионного анализа.
- •§ 1. Исходные понятия.
- •§ 2. Групповое и общее среднее. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая дисперсии.
- •§ 3. Однофакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента.
- •§ 4. Двухфакторный анализ. (При полностью случайном плане экспериментов.)
§ 5. Регрессионный анализ. Условные средние. Выборочные уравнения регрессии.
При рассмотрении многомерных случайных величин рассматривались условные законы распределения и их числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия и различные моменты. Оценками этих величин служат их выборочные аналоги. Наиболее важными являются условные математические ожидания, вычисленные по выборке – условные средние.
Условное среднее – среднее арифметическое значений случайной величины Y, наблюдавшихся при фиксированном значении случайной величины X= x.
Условное среднее – среднее арифметическое значений случайной величины X, наблюдавшихся при фиксированном значении случайной величины Y = y.
Напомним определение уравнения регрессии:
условное математическое ожидание является функциейx.
Эта функция f (x)называется функцией регрессии Y на X, а ее график – линией регрессии.
Выборочный аналог этого уравнения,, называетсявыборочным уравнением регрессии Y на X, функция–выборочной функцией регрессии Y на X, ее график – выборочной линией регрессии Y на X.
Аналогично определяются выборочные характеристики и для регрессии X на Y.
§ 6. Корреляционная таблица. Выборочные линии регрессии.
Пусть в результате эксперимента для системы (Х,Y) получена выборка значений .
Если значения х и y повторяются, то их группируют
Здесь и – наблюдаемые значения X и Y, а – частота появления пары значений.
Чаще всего в этом случае данные организуют в виде корреляционной таблицы:
X Y | |||||
… | |||||
… | |||||
… |
… |
… |
…. |
…. | |
… | |||||
… |
Группируя данные по значениям или :
по данным корреляционной таблицы можно составить законы распределения составляющих (последняя строка и последний столбец таблицы) и их средние по выборки и.
и .
Для наглядности данные таблицы изображают графически. Каждую пару (xi,yj)изображают точкой в системе координат (ХОY). Частоту , с которой данная пара встречается в таблице, изображают соответствующим числом близко расположенных точек либо пишут числовозле одной точки. Построенное таким образом в системе координат изображение корреляционной таблицы называютполем корреляции. Также возможно изображать данные таблицы кругами, центр которых находится в точке (xi,yj), а диаметр (или площадь) пропорционален .
Точка в системе координат (ХОY) с координатами называетсяцентром рассеивания.
Можно также составить условные законы распределения, например Y при Х=или Х приY=.
…. | ||||
….. |
Зная условные законы распределения, можно найти условные средние:
и т.п.Построим в системе координат (ХОY) точки
и соединим их отрезками прямых. Полученную ломаную называют
выборочной линией регрессии Y на X.
Если распределения случайных величин X и (или) Y заданы интервальным вариационным рядом, то удобно перейти к вспомогательным переменным, значения которых совпадают с серединами интервалов.
Кроме того, если варианты(значения вариационного ряда) являются равноотстоящими, т.е., образуют арифметическую прогрессию с разностью h, бывает удобно перейти к условным вариантам:
,
где C ложный нуль (новое начало отсчета),
h – шаг, т.е. разность между двумя соседними первоначальными вариантами (новая единица масштаба).
Если в качестве ложного нуля взята какая-то из вариант , то условные варианты- целые числа, что упрощает вычисления