Определение модуля Юнга методом изгиба.

Одним из методов определения модуля Юнга является метод изгиба стержня прямоугольной формы длиной , положенного обоими концами на опорные стальные призмыВВ и нагруженного в середине внешней силой (рис. 7.2). При такой деформации верхние слои стержня сжимаются, нижние растягиваются, а средний слой, называемый нейтральным, сохраняет свою длину и претерпевает искривление. Перемещение, которое получает нейтральный слой стержня, называется стрелой прогиба. Зная стрелу прогиба, можно определить модуль Юнга. Рассмотрим элемент длины стержня, который находится на р

Рис.7.2. Схематическое изображение стержня, деформированного внешней силой .

асстоянииот конца стержн

Рис. 7.3. Элемент длины стержня , подвергнутый деформации.

я, поперечное сечение которого характеризуется высотойи шириной(рис. 7.3). Согласно закону Гука, сила, вызывающая удлинениепроизвольно выбранного слоя стержня высотой, равна:

, (7.6)

где – модуль Юнга;– площадь сечения растягиваемого слоя;– расстояние от нейтрального слоя до слоя высотой, величина:

(7.7)

определяет положение поперечного сечения стержня до и после деформации, угол является мерой изгиба. При деформации изгиба любое сечение стержня вращается вокруг оси, проходящей через нейтральный слойОО^/. Тогда общий момент вращения, вызванный упругими силами в поперечном сечении стержня, будет равен:

. (7.8)

В случае равновесия этот вращающий момент равняется моменту вращения внешней силы:

, (7.9)

где: – внешняя сила, вызывающая изгиб одного из концов стержня (силараспределяется между опорами поровну). Элемент стрелы прогибаможет быть представлен (см. рис. 7.3) как:

. (7.10)

Подставляя величины ииз уравнения (11.7), из (11.9) выражаеми подставляем в (11.10), интегрируя его в пределах от 0 до, получаем:

, (7.11)

где: . Тогда:

. (7.12)

Последнее выражение позволяет рассчитать модуль Юнга, так как все величины доступны для измерения.

Определение модуля сдвига с помощью пружинного маятника.

Рис.7.4.

Рассмотрим кручение при деформации цилиндрической пружины. На рис.7.4 цилиндрическая пружина диаметроми длиной, подверженная растяжению до длиныдвумя равными и противоположно направленными вдоль ее оси силами. Будем рассматривать пружину, как винтовую линию с пренебрежимо малым шагом, таким, что каждый ее виток перпендикулярен силам, действующим на пружину. Момент сил, действующий в любом сечении витка пружины в таком случае является постоянной величиной, равной, где радиус пружины. Вектор момента сил направлен по касательной к витку, и следовательно, вызывает деформацию чистого кручения витков пружины. Следствием этой деформации будет изменение длины пружины, т.е. ее линейная деформация.

П

Рис.7.5.

роследим геометрическую связь деформации кручения бесконечно малого элемента витка пружиныи удлинения пружины. Рассмотрим бесконечно малый вектор перемещенияточки приложения силы, находящейся на оси пружины (см. рис. 7.5). Этот вектор направлен перпендикулярно вектору, соединяющему элемент витка с точкой приложения силы. Величина его равна, где угол кручения элемента витка. Направление вектора перемещения образует с осью пружины угол . На рис. 7.5 изображен также вектор перемещенияточки приложения силы при кручении элемента витка, расположенного на одном диаметре с первым элементом и имеющим такую же длину. По этой причине модули обоих векторов перемещений одинаковы и мы обозначим их через. Видно, что сумма этих векторов направлена по оси пружины и ее величина равна. Таким образом, перемещение точки приложения силы при кручении одного элемента витка на уголвыражается формулой. Угол кручения вычислим с помощью соотношения, где модуль сдвига;  диаметр проволоки пружины;  длина пружины; тогда: . Полную линейную деформациюпружины с общей длиной всехвитковможно получить с помощью интегрирования:

где: d – диаметр проволоки пружины, D – диаметр пружины, N  количество витков. Следовательно, жесткость пружины:

. (7.13)

Из формулы (7.13) вытекает связь модуля сдвига и жесткостью пружины:

(7.14)

Для экспериментального определения жесткости пружины в данной работе изучаются свободные колебания груза известной массы , подвешенного на пружине (пружинный маятник). Зависимость отклонения от равновесного положения груза от времениподчиняется следующему уравнению динамики:. Решение этого уравнения, как следует из теории, имеет вид:, где амплитудаи начальная фазаопределяются начальными условиями;– угловая частота крутильныхколебаний, период которых Т равен: , откуда. Подставляя этот результат в формулу (7.14), получаем следующую расчетную формулу:

. (7.15)