§3 Прямая и плоскость в пространстве.

ПЛОСКОСТЬ.

Определение. Любой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называется её нормальным вектором, и обозначается .

Определение. Уравнение плоскости вида где коэффициенты– произвольные действительные числа, одновременно не равные нулю, называетсяобщим уравнением плоскости.

Теорема. Уравнение определяет плоскость, проходящую через точкуи имеющую нормальный вектор.

Определение. Уравнение плоскости вида

где – произвольные, не равные нулю действительные числа, называетсяуравнением плоскости в отрезках.

Теорема. Пусть – уравнение плоскости в отрезках. Тогда– координаты точек её пересечения с осями координат.

Определение. Общее уравнение плоскости называетсянормированным или нормальным уравнением плоскости, если

и .

Теорема. Нормальное уравнение плоскости может быть записано в виде где – расстояние от начала координат до данной плоскости,– направляющие косинусы её нормального вектора).

Определение. Нормирующим множителем общего уравнения плоскости называется число– где знак выбирается противоположным знаку свободного членаD.

Теорема. Пусть – нормирующий множитель общего уравнения плоскости. Тогда уравнение– является нормированным уравнением данной плоскости.

Теорема. Расстояние d от точки до плоскостиравно.

Взаимное расположение двух плоскостей.

Две плоскости либо совпадают, либо являются параллельными, либо пересекаются по прямой.

Теорема. Пусть плоскости заданы общими уравнениями: . Тогда:

1) если , то плоскости совпадают;

2) если , то плоскости параллельные;

3) если или, то плоскости пересекаются по прямой, уравнением которой служит система уравнений: .

Теорема. Пусть – нормальные векторы двух плоскостей, тогда один из двух углов между данными плоскостями равен:.

Следствие. Пусть ,– нормальные векторы двух данных плоскостей. Если скалярное произведението данные плоскости являются перпендикулярными.

Теорема. Пусть даны координаты трех различных точек координатного пространства:

Тогда уравнение –является уравнением плоскости, проходящей через эти три точки.

Теорема. Пусть даны общие уравнения двух пересекающихся плоскостей: причем. Тогда:

.

– уравнение биссекторной плоскости острого двугранного угла, образованного пересечением данных плоскостей;

.

– уравнение биссекторной плоскости тупого двугранного угла.

Связка и пучок плоскостей.

Определение. Связкой плоскостей называется множество всех плоскостей, имеющих одну общую точку, которая называется центром связки.

Теорема. Пусть – три плоскости, имеющие единственную общую точкуТогда уравнениегде– произвольные действительные параметры одновременно не равные нулю, естьуравнение связки плоскостей.

Теорема. Уравнение , гдепроизвольные действительные параметры, одновременно не равные нулю, являетсяуравнением связки плоскостей с центром связки в точке .

Теорема. Пусть даны общие уравнения трех плоскостей:

–их соответствующие нормальные векторы. Для того чтобы три данные плоскости пересекались в единственной точке необходимо и достаточно, чтобы смешанное произведение их нормальных векторов не равнялось нулю:

В этом случае, координаты их единственной общей точки являются единственным решением системы уравнений:

Определение. Пучком плоскостей называется множество всех плоскостей пересекающихся по одной и той же прямой, называемой осью пучка.

Теорема. Пусть – две плоскости, пересекающиеся по прямой. Тогда уравнение, где– произвольные действительные параметры одновременно не равные нулю, естьуравнение пучка плоскостей с осью пучка

ПРЯМАЯ.

Определение. Любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой называется ее направляющим вектором, и обозначается

Теорема. Следующая система уравнений является уравнением прямой в пространстве и называется параметрическим уравнением прямой в пространстве: где– координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,– соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой,– параметр.

Следствие. Следующая система уравнений является уравнением прямой в пространстве и называется каноническим уравнением прямой в пространстве: где – координаты произвольной фиксированной точки данной прямой,– соответствующие координаты произвольного направляющего вектора данной прямой.

Определение. Каноническое уравнение прямой вида – называетсяканоническим уравнением прямой, проходящей через две раз­личные данные точки

Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Возможны 4 случая расположения двух прямых в пространстве. Прямые могут совпадать, быть параллельными, пересекаться в одной точке или быть скрещивающимися.

Теорема. Пусть даны канонические уравнения двух прямых:

где – их направляющие векторы,– произвольные фиксированные точки, лежащие на прямыхсоответственно. Тогда:

1. прямые совпадают, если т.е.

и ;

2. прямые параллельные, если , т.е.

и не выполняется хотя бы одно из равенств

;

3. прямые пересекаются в одной точке, если , т.е. хотя бы одно из равенствне выполняется и

, т.е.

4) прямые скрещивающиеся, если , т.е.

Теорема. Пусть

– две произвольные прямые в пространстве, заданные параметрическими уравнениями. Тогда:

1) если система уравнений

имеет единственное решение то прямые пересекаются в одной точке;

2) если система уравнений не имеет решений, то прямые скрещивающиеся или параллельные.

3) если система уравнений имеет более одного решения, то прямые совпадают.

Расстояние между двумя прямыми в пространстве.

Теорема. (Формула расстояния между двумя параллельными прямыми.): Расстояние между двумя параллельными прямыми

, где – их общий направляющий вектор,– точки на этих прямых, можно вычислить по формуле:

или

Теорема. (Формула расстояния между двумя скрещивающимися прямыми.): Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

можно вычислить по формуле:

где – модуль смешанного произведения направляющих векторовии вектора,– модуль векторного произведения направляющих векторов.

Теорема. Пусть – уравнения двух пересекающихся плоскостей. Тогда следующая система уравнений является уравнением прямой линии, по которой пересекаются эти плоскости:. Направляющим вектором этой прямой может служить вектор, где,– нормальные векторы данных плоскостей.

Теорема. Пусть дано каноническое уравнение прямой: , где . Тогда следующая система уравнений является уравнением данной прямой, заданной пересечением двух плоскостей:.

Теорема. Уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую имеет видгде – координаты векторного произведения,– координаты направляющего вектора данной прямой. Длину перпендикуляра можно найти по формуле:

Теорема. Уравнение общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых имеет вид: где.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Возможны три случая взаимного расположения прямой в пространстве и плоскости:

1) прямая лежит на плоскости;

2) прямая параллельна плоскости;

3) прямая пересекает плоскость в некоторой точке.

Теорема. Пусть плоскость задана общим уравнением, а прямая задана каноническим или параметрическим уравнениямиили, где вектор – нормальный вектор плоскости– координаты произвольной фиксированной точки прямой,– соответствующие координаты произвольного направляющего вектора прямой. Тогда:

1) если , то прямаяпересекает плоскостьв точке, координаты которой можно найти из системы уравнений

2) если и, то прямая лежит на плоскости;

3) если и, то прямая параллельна плоскости.

Следствие. Если система (*) имеет единственное решение, то прямая пересекается с плоскостью; если система (*) не имеет решений, то прямая параллельная плоскости; если система (*) имеет бесконечно много решений, то прямая лежит на плоскости.

Решение типовых задач.

Задача №1:

Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам

Решение:

Найдём нормальный вектор искомой плоскости:

= =

В качестве нормального вектора плоскости можно взять вектор тогда общее уравнение плоскости примет вид:

Чтобы найти , нужно заменить в этом уравнениикоординатами точки, принадлежащей плоскости.

Ответ

Задача №2:

Две грани куба лежат на плоскостях иВычислить объём этого куба.

Решение:

Очевидно, что плоскости параллельны. Длиной ребра куба является расстояние между плоскостями. Выберем на первой плоскости произвольную точку: пустьнайдём.

Итак, .

Найдём расстояние между плоскостями как расстояние от точки до второй плоскости:

Итак, объём куба равен ()

Ответ: .

Задача №3:

Найти угол между гранями ипирамидыc вершинами

Решение:

Угол между плоскостями – это угол между нормальными векторами к этим плоскостям. Найдём нормальный векторплоскости:[,];

, или

Аналогично

.

Ответ: .

Задача №4:

Составить каноническое уравнение прямой .

Решение:

1. Найдём произвольную точку прямой, для этого решим систему. Пусть, тогда, откуда.

Итак,

2. Найдём направляющий вектор прямой.

Вектор иперпендикулярны прямой, поэтому,

Итак, каноническое уравнение прямой примет вид .

Ответ: .

Задача №5:

Найти расстояние между прямыми

и .

Решение:

Прямые параллельны, т.к. их направляющие векторы иравны. Пусть точкапринадлежит первой прямой,a точка лежит на второй прямой. Найдём площадь параллелограмма, построенного на векторахи.

;

[,];

3∙21∙(ед.³).

Далее найдём длину основание параллелограмма:

.

Искомым расстоянием является высота параллелограмма, опущенная из точки :

ед.

Ответ: .

Задача №6:

Вычислить кратчайшее расстояние между прямыми:

Покажем, что прямые скрещивающиеся, т.е. векторы ,ине принадлежат одной плоскости:≠ 0.

1 способ:

Через вторую прямую проведём плоскость , параллельную первой прямой. Для искомой плоскости известны принадлежащие ей векторыии точка. Нормальный векторплоскостиесть векторное произведение векторови, поэтому.

Итак, в качестве нормального вектора плоскости можно взять векторпоэтому уравнение плоскости примет вид:зная, что точкапринадлежит плоскостинайдёми запишем уравнение:

Искомое расстояние – это расстояние от точки первой прямой до плоскостии находится по формуле:

13.

2 способ:

На векторах ,ипостроим параллелепипед.

Искомое расстояние – это высота параллелепипеда, опущенная из точки , на его основание, построенного на векторахи.

Ответ: 13 единиц.

Задача №7:

Найти проекцию точки на плоскость

Решение:

1. Через точку проведём прямую, перпендикулярную плоскости.

2. Найдём точку пересечения прямой и плоскости. Точка– проекция точкина плоскость.

Нормальный вектор плоскости является направляющий вектором прямой:

или .

Найдём точку пересечения прямой

и плоскости:

.

Подставив в уравнение плоскости, найдём, а затем

Ответ:

Замечание. Чтобы найти точку , симметричную точкеотносительно плоскости, нужно (аналогично предыдущей задаче) найти проекциюточкина плоскость, затем рассмотреть отрезокс известными началоми серединой, воспользовавшись формулами,,.

Задача №8:

Найти уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Решение:

1 способ:

1. Проведём плоскость через точкуи заданную прямую.

2. Проведём плоскость через точкуперпендикулярно прямой.

3. Искомый перпендикуляр есть пересечение плоскостей .

2 способ:

1. Проведём плоскость через точку, перпендикулярно прямой.

2. Найдём точку пересечения плоскостии прямой.

3. Уравнение искомого перпендикуляра – это уравнение прямой, проходящей через точки и.

Задачу решим вторым способом:

Плоскость перпендикулярна заданной прямой, поэтому направляющий вектор прямой является нормальным вектором плоскости. Зная нормальный вектор плоскости и точку на плоскости, запишем её уравнение:

Найдём точку пересечения плоскости и прямой, записанной параметрически:

,

итак,

Составим уравнение прямой проходящей через точки и:

.

Ответ: .

Таким же способом можно решить и следующие задачи:

1. Найти расстояние от точки до прямой. (Для предыдущей задачи ответом будет расстояние ).

2. Найти проекцию точки на прямую (точка – проекция точки).

3. Найти точку, симметричную точке относительно прямой.

Задача №9:

Найти точку , симметричную точкеотносительно прямой .

Решение:

1. Проведём плоскость через точку перпендикулярно заданной прямой:

2. Найдём точку пересечения прямой и плоскости

3. Найдём координаты точки как конца отрезкас известными началоми серединой

Ответ:

Задача №10:

Дан треугольник с вершинами Найти, уравнение высоты, опущенной из вершины на сторону.

Решение:

Ход решения совершенно аналогичен предыдущим задачам.

Ответ: .

Задача №11:

Найти уравнение общего перпендикуляра к двум прямым: .

Решение:

1. Докажем, что прямые являются скрещивающимися, для этого составим определитель, строками которого являются координаты векторов ,,:

0.

2. Найдём уравнение плоскости , проходящей через первую прямую параллельно второй прямой(∙).

Учитывая, что плоскость проходит через точку, запишем уравнение этой плоскости:

3. Найдём уравнение плоскости , перпендикулярной плоскостии проходящей через первую прямую:,∙).

Точка принадлежит, поэтому уравнение плоскостипримет вид:.

4. Аналогично, найдём уравнение плоскости , перпендикулярной плоскостии проходящей через вторую прямую:

5. Уравнением общего перпендикуляра к заданным прямым является уравнение линии пересечения плоскостей: .

Ответ:

Задача №12:

Составить уравнение прямой проходящей через точку и пересекающей прямые .

Решение:

Первая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор; вторая – проходит через точкуи имеет направляющий вектор

Покажем, что эти прямые являются скрещивающимися, для этого составим определитель, строки которого являются координатами векторов ,,,векторы не принадлежат одной плоскости.

Проведём плоскость через точкуи первую прямую:

Пусть – произвольная точка плоскоститогда векторы,икомпланарны. Уравнение плоскостиимеет вид:.

Аналогично составим уравнение плоскости , проходящей через точкуи вторую прямую:0.

Искомая прямая есть пересечение плоскостей , т.е..

Ответ:.

Образовательным результатом после изучения данной темы является сформированность компонент, заявленных во введении, совокупности компетенций (знать, уметь, владеть) на двух уровнях: пороговый и продвинутый. Пороговый уровень соответствует оценке «удовлетворительно», продвинутый уровень соответствует оценкам «хорошо» или «отлично» в зависимости от результатов защиты кейс-заданий.

Для самостоятельной диагностики данных компонент вам предлагаются следующие задания.