Вопросы для самопроверки (знать).

Пороговый уровень:

1. Как выполняются линейные операции над векторами? Каковы свойства этих операций?

2. Какие вектора называются линейно зависимыми, а какие линейно независимыми?

3. Что такое базис? Какие векторы образуют базис на плоскости и в пространстве?

4. Какой базис называют ортонормированным?

5. Что такое координаты вектора?

6. Что называется скалярным произведением векторов? Каковы его свойства? Для решения каких задач и как оно может быть использовано?

7. Что называется векторным произведением векторов? Каковы его свойства? Для решения каких задач и как оно может быть использовано?

8. Что называется смешанным произведением векторов? Каковы его свойства? Для решения каких задач и как оно может быть использовано?

9. Запишите в векторной и координатной формах условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов.

Повышенный уровень:

1. Докажите свойства скалярного произведения векторов.

2. Докажите свойства векторного произведения векторов.

3. Докажите свойства смешанного произведения векторов.

4. Докажите выражение скалярного, векторного и смешанного произведения векторов через их координаты, заданных в ортонормированном базисе.

5. Для решения каких задач школьного курса геометрии и как используются свойства векторов?

6. Приведите примеры использования векторов в других областях науки, например в физике.

Решение типовых задач (уметь). Лабораторная работа №1.

Вариант 1.

1. Даны координаты вершин пирамиды .

Задание:

1. найти координаты векторов

2. найти угол между векторами

3. найти проекцию на вектор;

4. найти площадь грани ABD;

5. найти объем пирамиды;

6. определить, какой тройкой (левой или правой) являются векторы

7. найти орт вектора ;

8. найти координаты центра тяжести треугольника .

2. Дано: . Найти координаты высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из вершинытреугольника.

3. Доказать, что векторы образуют базис и найти координаты векторав этом базисе:

4. Даны векторы . Найти проекцию ().

5. Найти , если, причем– взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку.

6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, если ,.

7. Вектор , перпендикулярный к векторами, образует острый угол с осьюOy. Зная, что , найти его координаты.

Вариант 2.

1. Даны координаты вершин пирамиды .

Задание:

1. найти координаты векторов

2. найти угол между векторами

3. найти проекцию на вектор;

4. найти площадь грани ;

5. найти объем пирамиды;

6. определить, какой тройкой (левой или правой) являются векторы

7. найти орт вектора ;

8. найти координаты центра тяжести треугольника .

2. Дано: . Найти координаты высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из вершинытреугольника

3. Доказать, что векторы образуют базис и найти координаты векторав этом базисе:

4. Даны векторы . Найти проекцию ().

5. Найти , если, причем– взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку.

6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, если ,

7. Вектор , перпендикулярный к осиOz и к вектору , образует острый угол с осьюOx. Зная, что , найти его координаты.

Вариант 3.

1. Даны координаты вершин пирамиды .

Задание:

1. найти координаты векторов

2. найти угол между векторами

3. найти проекцию на вектор;

4. найти площадь грани

5. найти объем пирамиды;

6. определить, какой тройкой (левой или правой) являются векторы

7. найти орт вектора ;

8. найти координаты центра тяжести треугольника .

2. Дано: . Найти координаты высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из вершинытреугольника

3. Доказать, что векторы образуют базис и найти координаты векторав этом базисе:

4. Даны векторы . Найти проекцию (2+).

5. Найти , еслипричем– взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку.

6. Найти угол между векторами и, если ,

7. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к векторамии удовлетворяет условию.

Вариант 4.

1. Даны координаты вершин пирамиды .

Задание:

1. найти координаты векторов

2. найти угол между векторами

3. найти проекцию на вектор;

4. найти площадь грани ;

5. найти объем пирамиды;

6. определить, какой тройкой (левой или правой) являются векторы

7. найти орт вектора ;

8. найти координаты центра тяжести треугольника .

2. Дано:. Найти координаты высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из вершинытреугольника.

3. Доказать, что векторы образуют базис и найти координаты векторав этом базисе:

4. Даны векторы . Найти проекцию (+2).

5. Найти , если, причем– взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку.

6. Найти угол между векторами и, если ,

7. Даны координаты вершин пирамиды . Найти длину его высоты, опущенной из вершины

Вариант 5.

1. Даны координаты вершин пирамиды .

Задание:

1. найти координаты векторов

2. найти угол между векторами

3. найти проекцию на вектор;

4. найти площадь грани ;

5. найти объем пирамиды;

6. определить, какой тройкой (левой или правой) являются векторы

7. найти орт вектора ;

8. найти координаты центра тяжести треугольника

2. Дано: . Найти координаты высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из вершинытреугольника

3. Доказать, что векторы образуют базис и найти координаты векторав этом базисе:

4. Даны векторы . Найти проекцию (-3).

5. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах, причем – взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку.

6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторахи, если ,

7. Объем тетраэдра , координаты вершин находятся в точках. Найти координаты четвертой вершиныD, если известно, что она лежит на оси Oy.

Вариант 6.

1. Даны координаты вершин пирамиды .

Задание:

1. найти координаты векторов

2. найти угол между векторами

3. найти проекцию на вектор;

4. найти площадь грани

5. найти объем пирамиды;

6. определить, какой тройкой (левой или правой) являются векторы

7. найти орт вектора ;

8. найти координаты центра тяжести треугольника

2. Дано: . Найти координаты высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из вершинытреугольника

3. Доказать, что векторы образуют базис и найти координаты векторав этом базисе:

4. Даны векторы . Найти проекцию

5. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , причем – взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку.

6. Найти угол между векторами и, если ,

7. Вектор перпендикулярен к векторами, угол междуиравен. Зная, что, вычислить.

Вариант 7.

1. Даны координаты вершин пирамиды .

Задание:

1. найти координаты векторов

2. найти угол между векторами

3. найти проекцию на вектор;

4. найти площадь грани ;

5. найти объем пирамиды;

6. определить, какой тройкой (левой или правой) являются векторы

7. найти орт вектора ;

8. найти координаты центра тяжести треугольника

2. Дано:. Найти координаты высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из вершинытреугольника

3. Доказать, что векторы образуют базис и найти координаты векторав этом базисе:

4. Даны векторы . Найти проекцию .

5. Найти , еслипричем– взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку

6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, если ,

7. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к векторам ии удовлетворяет условию.

Вариант 8.

1. Даны координаты вершин пирамиды .

Задание:

1. найти координаты векторов

2. найти угол между векторами

3. найти проекцию на вектор;

4. найти площадь грани ;

5. найти объем пирамиды;

6. определить, какой тройкой (левой или правой) являются векторы

7. найти орт вектора ;

8. найти координаты центра тяжести треугольника .

2. Дано: . Найти координаты высоты, биссектрисы и медианы, проведенных из вершинытреугольника

3. Доказать, что векторы образуют базис и найти координаты векторав этом базисе:

4. Даны векторы . Найти проекцию ().

5. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах , причем – взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку.

6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, если ,

7. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к векторамии удовлетворяет условию.

Пороговый уровень:

Достаточно правильно решить 70 % задач лабораторной работы №1.

Повышенный уровень:

Необходимо правильно решить все задачи лабораторной работы №1.

Кейс-задание диагностирует готовность к педагогической деятельности, а так же владение информационными технологиями и заключается в следующем:

Используя любой математический пакет и учебник по стереометрии для 10-11 классов создать презентации всех уроков по теме «Векторы».

При этом для достижения порогового уровня достаточно использование одного пакета и элементов презентаций на уроках по теме «Векторы».

Для продвинутого уровня необходим анализ возможностей использования компьютерных технологий в процессе изучения темы «Векторы» и создание электронного образовательного ресурса по данной теме.