§1 Векторы.

Определение. Вектором называется направленный отрезок. Координатами вектора называются проекции этого вектора на координатные оси.

Пусть – произвольный вектор и известно, что он образует с осями координатуглысоответственно. Тогда числаназываютсянаправляющими косинусами вектора. Известно равенство:

Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: где– угол между векторами.

Свойства скалярного произведения:

1. 

2. 

3. 

4. 

Теорема. Если векторы заданы декартовыми прямоугольными координатами, то:то

Из теоремы и свойства (4) следует, что .

Определение. Проекцией вектора на векторназывается число:

Определение. Ортом вектора называется векторединичной длины, одинаково с ним направленный.

Применение скалярного произведения векторов:

1. Нахождение угла между векторами

2. Вычисление проекции вектора

3. Для определения длины вектора:

следовательно =

4. Для определения перпендикулярности векторов:

Определение. Векторным произведением вектора называется вектор, обозначаемый символом [] и определяемый следующими тремя условиями:

1. Модуль вектора [] равен, гдеφ – угол между векторами и.

2. Вектор [] перпендикулярен к каждому из векторови.

3. Направление вектора [] соответствует «правилу правой руки».

Свойства векторного произведения:

1. Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

2. Модуль векторного произведения равен площадиS параллелограмма, построенного на векторах и:

3. Векторное произведение может быть выражено формулой:

где – орт векторного произведения.

4. Векторное произведение [] обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторыиколлинеарны. В частности

5. 

6. 

Теорема. Если векторы изаданы декартовыми прямоугольными координатами, то векторное произведение вектора определяется формулой:

Применение векторного произведения векторов:

1. Для отыскания площади параллелограмма, построенного на векторах и:

2. Для нахождения вектора , перпендикулярного векторами:

[].

Определение. Если вектор умножается векторно на вектор, и вектор [] также векторно умножается на вектор, то мы получаем вектор [[]], который называетсядвойным векторным произведением.

Свойства:

1. 

2. 

Определение. Смешанным произведением трех векторов называется число, равное скалярному произведению вектора [] на вектор, т.е.

Свойство. Имеет место тождество:

Теорема. Смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах, взятому со знаком плюс, если тройкаправая, и со знаком минус, если тройка левая.

Теорема. Векторы компланарны тогда и только тогда, когда смешанное произведениеравно нулю; иначе говоря, равенство– есть необходимое и достаточноеусловие компланарности векторов

Теорема. Если векторы заданы декартовыми прямоугольными координатами, то смешанное произведениеопределяется формулой:.

Напомним, что система координатных осей предполагается правой (вместе с тем является правой и тройка векторов {,,}).

Применение смешанного произведения векторов:

1. Для отыскания объема параллелепипеда и тетраэдра, построенныхна векторах

2. Для решения вопроса о компланарности векторов.

3. Для решения вопроса о линейной зависимости или независимости трех векторов.

4. Для решения вопроса об ориентации векторов.

Деление отрезка в данном отношении.

Пусть на прямой заданы точки и, а– произвольная точка прямой.

Обозначим через отношение; будем говорить, что точкаделит отрезокв отношении. Известно, чтокоординаты точки определяются по формулам:;; .

Если точка является серединой отрезка , то ее координаты определяются по формулам: ; ;;

В зависимости от положения точки числоможет принимать различные значения.

Решение типовых задач

Задача №1:

Даны вершины треугольника . Вычислить координаты и длину биссектрисыего внутреннего угла при вершине.

Решение:

1. Известно, что биссектриса треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т.е. .

2. Будем считать, что – делящая точка отрезка АС, ;

поэтому Итак, .

3. Найдем координаты т.D:

); таким образом, .

4. Найдем длину :

⇒

Ответ:

Задача №2:

Найти направляющие косинусы биссектрисы углатреугольникас вершинами.

Решение:

1. Найдем координаты точки :;

; таким образом, .

2. Найдем координаты . Пусть, тогда: ⇒

⇒

⇒.

3. Найдем величину угла :

Ответ: arccos.

Задача №3:

Три последовательные вершины трапеции находятся в точках. Найти четвертую вершинуэтой трапеции, зная, что длина основанияравна 15. Найти также точку– пересечения диагоналей трапеции.

Решение:

1. 9;

т.к. и– сонаправлены⇒ (); откуда().

2. (они подобны) ⇒ .

Тогда, по формулам деления отрезка в данном отношении, .

Ответ: ();().

Задача №4:

Одна из вершин параллелепипеда находится в точке, а концы выходящих из нее ребер – в точках. Найти: длину диагоналии уголмежду реброми диагональюэтого параллелепипеда.

Решение:

1. , _{1 1}.

.

2. .

Ответ;∠arccos.

Задача №5:

Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.

Решение:

Возьмём на оси вектор единичной длины и найдём его координаты. Известно, чтот.к., то 3, беремт.к. угол α острый. Итак,()⇒ .

Ответ:

Задача №6:

Векторы иобразуют уголпричеми

Определить

Решение:

1 способ:

1. ²

2. ²

2 способ:

На векторах ипостроили параллелограмм:. Очевидно, что. Из треугольникапо теореме косинусов найдём.

Итак, . Из треугольникааналогично найдём.

Ответ: 1) 2).

Задача №7:

Даны векторы ипричем,, угол между нимиНайти угол между медианойтреугольникаи стороной.

Решение:

1) Достроим до параллелограмма, для этого продолжим медианутак, что,⇒

2) ;.

3) ,

cледовательно,.

Тогда .

Ответ: arccos..

Задача №8:

Вычислить длину вектора если,

Решение:

²

Ответ:

Задача №9:

Найти угол между векторами ,,

Решение:

1. ;

2. 

3. ²;

²

4. .

Ответ: arccos( ).

Задача №10:

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

Решение:

;

Ответ: кв. ед.

Задача №11:

Даны и. Вычислить:

Решение:

Из определения векторного произведения следует:

Найдем ; = ; ; поэтому102

Ответ:

Задача №12:

Векторы взаимно перпендикулярны. Зная, чтовычислить:

Решение:

Так как , то

Ответ:

Задача №13:

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , еслиа угол между векторамиравен.

Решение:

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма построенного на векторах .

Найдём площадь параллелограмма:

так как .

Ответ: .

Задача №14:

Вектор , перпендикулярный к векторам, образует с осьютупой угол. Зная, что, найти его координаты.

Решение:

1 способ: Искомый вектор перпендикулярен, поэтому мы можем его найти, как [], но с точностью до длины.

Т.к. , а, мы делаем вывод, чтоИз этого следует, что координаты векторав два раза больше, чем у вектора [];

Найденный вектор искомый, т.к. он образует с осью тупой угол.

2 способ: Искомый вектор перпендикулярен к векторам. Значит. Также нам дано, что. Обозначим координаты вектора, тогда составим систему:или.

Решая систему и зная, что вектор образует с осьютупой угол, получаем

Ответ:

Задача №15:

Доказать, что векторы компланарны, если.

Доказательство:

([])

Т.к. смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны.

Что и требовалось доказать.

Задача №16:

Доказать, что векторы – линейно независимы, т.е. образуют базис, если.

Доказательство:

([]) =.

Т.к. ([]то векторынекомпланарны, а поэтому они линейно независимы, следовательно, образуют базис трёхмерного пространства.

Что и требовалось доказать.

Задача №17:

Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах .

Решение:

Ответ: куб.ед.

Задача №18:

Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках .

Решение:

; ([])⇒ ;

.

Ответ: куб. ед.

Задача №19:

Даны вершины тетраэдра . Найти длину его высоты, опущенной из вершины.

Решение:

Высота тетраэдра – это высотапараллелепипеда, построенного на векторах, поэтому найдём объём и площадь основания параллелепипеда.

.

; следовательно ;

кв. ед.;

Итак, _{тетр парал}

Ответ:

Задача №20:

Даны три вектора . Найти разложение векторапо базису.

Решение:

Разложить вектор по векторам– это значит представить векторв виде линейной комбинации векторов:, где– координаты векторав базисе, то есть:

,

или .

Решая систему, находим

Поэтому .

Ответ: .

Задача №21:

Два вектора приложены к одной точке. Определить координаты вектора, направленного по биссектрисе угла между векторами, при условии, что3.

Решение:

;

Найдем орты векторов : (),

().

Вектор направлен по диагонали ромба, построенного на векторах

;

|

Следовательно, длина вектора больше длины вектора в 63 раза, поэтому

Ответ:

Задача №22:

В равнобедренной трапеции нижнее основание, боковая сторонаугол∠ равен 60°. Выразить остальные стороны и диагонали трапеции через векторы и

Решение:

–высоты трапеции.

Тогда

Из

Из

Из

Ответ: ;=

Образовательным результатом после изучения данной темы является сформированность компонент, заявленных во введении, совокупности компетенций (знать, уметь, владеть) на двух уровнях: пороговый и продвинутый. Пороговый уровень соответствует оценке «удовлетворительно», продвинутый уровень соответствует оценкам «хорошо» или «отлично» в зависимости от результатов защиты кейс-заданий.

Для самостоятельной диагностики данных компонент вам предлагаются следующие задания.