Операторы в квантовой механике

1. Найти собственные функции и собственные значения следующих операторов: а) , (- азимутальный угол); б) ; в) .

2. Найти собственные функции и собственные значения оператора отражения координат: .

3. Найти явный вид оператора трансляции на конечное расстояние : , выразить его через оператор проекции импульса на направление . Найти собственные функции и собственные значения оператора .

4. Найти явный вид оператора поворота на конечный угол вокруг направления и выразить его через оператор проекции момента импульса на направление . Найти собственные функции и собственные значения оператора .

5. Показать, что собственные функции унитарного оператора ортогональны, а собственные значения в общем случае комплексны и по модулю равны единице.

6. Показать, что собственные функции эрмитового оператора ортогональны (либо могут быть ортогонализованы), а собственные значения действительны.

7. Вычислить коммутаторы:

Стационарные состояния.

1. Найти волновые функции частицы в одномерном потенциальном поле вида в зависимости от ее энергии . Для случая вычислить коэффициенты отражения и прохождения для потоков, падающих на -образный барьер слева и справа.

2. Найти волновые функции и энергии связанных состояний частицы в потенциальной яме вида . Для энергий непрерывного спектра вычислить коэффициенты отражения от ямы и прохождения через нее.

3. Решить стационарное уравнение Шредингера в одномерном потенциальном поле вида: .

4. Вычислить коэффициенты отражения и прохождения частицы для потенциального барьера вида и для потенциальной ямы вида .

5. Вычислить коэффициенты отражения и прохождения частицы для потенциалов вида: а) , б) .

6. Найти волновые функции и энергии связанных состояний частицы в потенциальном поле вида . Для энергий непрерывного спектра вычислить коэффициенты отражения от потенциала и прохождения через него.

7. Найти уровни энергии и волновые функции частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме, разделенной -образным потенциальным барьером: .

8. Найти уровни энергии и волновые функции частицы, находящейся в бесконечно глубокой потенциальной яме вида: . Рассмотреть случаи, когда энергия и .

Принцип суперпозиции. Соотношение неопределенностей.

1. Найти среднее значение энергии заряженной частицы, находящейся в состоянии , под действием постоянного электрического поля .

2. Определить волновую функцию свободной частицы, находящейся в стационарном состоянии с энергией и средним значением импульса . Является ли решение задачи однозначным?

3. Доказать, что при движении в симметричном поле средние значения координаты и импульса для любого стационарного состояния дискретного спектра.

4. Волновая функция свободной частицы в импульсном - представлении в некоторый момент времени имеет вид . Найти средние значения в этом состоянии и проверить соотношение неопределенностей. Будет ли распределение по координатам меняться с течением времени?

5. Частица находится в состоянии с волновой функцией: . Какой результат даст измерение импульса в этом состоянии?

6. Волновая функция гармонического осциллятора в некоторый момент времени имеет вид . Найти распределение по импульсам в момент времени и волновую функцию в произвольный момент времени . Как будет изменяться распределение по импульсам с течением времени?

7. Волновая функция частицы имеет вид . Существуют ли в этом состоянии определенные координаты, энергия, проекции импульса частицы? Какое распределение вероятностей имеют импульс и кинетическая энергия? Чему равно среднее значение импульса и его дисперсия? Чему равно среднее значение кинетической энергии?

8. Определить распределение вероятностей по импульсам для частицы, находящейся в основном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной яме .

9. Исходя из соотношения неопределенностей, оценить энергию основного состояния частицы в потенциальных полях вида: .

10. Свободная частица движется в пространстве с энергией . Существует ли у такой частицы определенный импульс? Какие значения импульса и с какими вероятностями будут наблюдаться у такой частицы при измерении? Определить среднее значение и дисперсию импульса частицы. Движение считать одномерным.