2.4. Непрерывные процентные ставки

В силу того, что многие финансовые процессы непрерывны, для их анализа неправомерно использовать дискретные ставки, поэтому в данном случае применяются непрерывные процентные ставки, их еще называют силой роста (forse of interest). При использовании непрерывной процентной ставки определяется по формуле:

S = Pe ^{r n} (20),

где

e – математическое число, основание натурального логарифма, а e ^{r n} - множитель наращения, который можно найти по таблицам e ^x или разложив число по формуле:

x ² x³ x⁴

e ^x = 1 + x + 2! + 3! + 4! + ….

Если по непрерывной процентной ставке осуществляется дисконтирование, то приведенную сумму определяют по формуле:

P = Se ^{– r n} (21)

Не имея под рукой таблиц функции e ^x или современного калькулятора, величину e ^{– r} можно найти разложением:

r ² r ³ r ⁴

e ^{– r} = 1 – r + 2! + 3! + 4! + ….

Непрерывная процентная ставка играет большую роль в теоретических расчетах. С помощью этого показателя можно моделировать процессы наращения или дисконтирование стоимостей с меняющейся во времени по каким – либо законам процентным ставкам. По непрерывной ставке можно рассчитать эффективность инвестиций на длительную перспективу в случае изменяющейся доходности вложений, если эти изменения можно описать некоторой непрерывной функцией времени y_t = f (t). Таким образом, если сила роста описывается функцией y_t , то наращенную сумму можно определить по формуле:

S = Pe (22)

Соответственно, современную стоимость будущей суммы можно найти по формуле:

P = Se (23)

2.5. Расчет уровня процентной ставки и срока платежа при заданных современных или будущих суммах денежных средств.

При анализе финансовых контрактов, при их разработке бывает необходимо знать не только наращенные или дисконтированные суммы денежных средств, но и, наоборот, при известных суммах уметь рассчитать уровень процентной ставки или определить срок ссуды при прочих заданных параметрах. Формулы для расчета этих величин легко вывести из соответствующих формул для определения наращенных или дисконтированных сумм. Так, срок ссуды для простой процентной ставки можно определить по формуле:

(24)

а для простой учетной ставки по формуле:

(25)

Уровень процентной ставки (учетной ставки) определяется по формулам:

(26)

(27)

Пример 9. Сколько времени потребуется для того, чтобы при простой процентной ставке 20 % нарастить сумму с 50 до 80 тыс. руб.

Решение:

(28)

Пример 10. В финансовом контракте заемщик обязуется погасить долговое обязательство на сумму 100 тыс. руб. через 270 дней и в сумме 130 тыс. руб. Определить доходность операций для кредитора, если бы он применил:

а) простую процентную ставку r;

б) простую учетную ставку d;

В обоих случаях процент обыкновенный, то есть год принимается за 360 дней.

Решение:

а)

= 40,0 %

б)

= 30,8 %

Несколько сложнее рассчитать срок ссуды и уровень процентной ставки для сложных процентов. Для определения срока ссуды при использовании сложной процентной ставки необходимо прологарифмировать выражение S = P * (1 + r) ⁿ (формула 9).

(1 + r) ⁿ = S/P

log (1 + r) ⁿ = log S/P

n log (1 + r) = log S/P

(29)

Соответственно, для номинальной процентной ставки:

(30)

Для определения срока ссуды при использовании постоянной силы роста (непрерывной ставки) удобно воспользоваться натуральным логарифмом, основанием которого является число е. В этом случае

(31)

Аналогично можно определить сроки ссуды для учетной ставки:

(32)

Для номинальной учетной ставки:

(33)

Пример 11. Предприятие имеет 100 тыс. руб. свободных денежных средств. На покупку оборудования ему необходимо 300 тыс. руб. За какой срок предприятие может получить необходимую сумму, если положит свободные деньги на депозитный счет при условии начисления:

а) 20% годовых раз в год по сложной ставке;

б) 20% годовых поквартальной капитализацией процентов по сложной ставке.

Решение:

а) = 6,02576

б) = 5,63

Из формул 3, 6, 9, 10, 14 легко можно вывести формулы для определения уровня процентной ставки для заданных параметров денежных сумм и периодов начисления. Сложная годовая ставка равна:

r = (S/P)^1/n – 1 (34)

Формула 34 выведена из формулы (9) следующим образом:

S = P *(1 + r)ⁿ

(1 + r)ⁿ = S/P

[(1 + r)ⁿ] ^1/n = (S/P) ^1/n

1 + r = (S/P) ^1/n

r = (S/P) ^1/n – 1

Аналогично:

Для номинальной процентной ставки:

r = m [(S/P)^1/mn - 1] (35)

для годовой учетной ставки:

d = 1 - (P/S) ^1/n (36)

для номинальной учетной ставки:

d = m *(1 - (P/S)^1/mn ) (37)

для непрерывной ставки:

(38)

Пример12. Определить сложную процентную ставку, если P = 100 руб., S = 1500 руб., n = 2.

Решение:

r = (1500/1000)^1/2 – 1 = 22,4 %

Все вышеприведённые формулы для расчётов сгруппированы в таблице

Вид ставки

Наращённая сумма

Дисконтирование

Расчёт срока ссуды (n) при других заданных условиях

Расчёт уровня ставки при других заданных условиях

Процентная ставка

Учётная ставка

Процентная ставка

Учётная ставка

Процентная ставка

Учётная ставка

Процентная ставка

Учётная ставка

Простая

S = P(1+ nr)

S=

P

P =

S

P = S(1 - nd)

n =

S/P-1

n =

1 - P/S

r =

S/P - 1

d =

1 - P/S

1 - nd

1+ nr

r

d

n

n

Сложная

S = P(1+ r)n

S=

P

P =

S

P = S(1 - d)n

n =

log S/P

n =

log P/S

r = (

S

)1/n - 1

d = 1 - (

P

)1/n

(r - d)n

(1+ r)n

log (1+ r)

log (1- d)

P

S

Сложная с несколькими начислениями

S=P(1+

r

)n m

P =

S

P = S(1-

d

)m n

n =

log S/P

n =

log P/S

r = m[(

S

)1/m n - 1]

d=m[1-(

P

)1/m n]

m

(1+

r

)m n

m

log (1+

r

)m

m log (1-

d

)

P

S

m

m

m

Непрерывная

S = Per n

P = Se-r n

n =

ln S/P

r =

ln S/P

r

n

Эффективная

re = (1+

r

)m - 1

de=1-(1-

d

)m

m

m

P - первоначальная стоимость

n - срок ссуды

r - процентная ставка

S - сумма с наращением

m - число начислений в году

d - учётная ставка (discont)