2.3. Дисконтирование

В предыдущих примерах были рассмотрены случаи определения будущих наращенных сумм. В финансовом менеджменте часто необходимо бывает знать современную стоимость какой либо будущей суммы денег. Эту современную или по другому приведенную стоимость (present value) определяют дисконтированием. Дисконт – это разность между будущей и современной стоимостью.

Формулу для определения современной стоимости будущей суммы легко можно вывести из формулы (9)

(13)

Выражение = (1+r) ^–n называется учетным или дисконтным множителем.

Формула 13 применяется при ежегодном начислении процентов.

Для случая, когда проценты начисляются m раз в год, используется формула:

(14)

где

⁼ (1+r/m) ^{– mn} - дисконтный множитель.

Аналогично тому, что процесс наращения стоимости может осуществляться как по простым, так и по сложным процентам, процесс дисконтирования также может осуществляться по простой (формуле 7) и по сложной учетной ставке. В том случае, когда учетная ставка на каждом временном промежутке применяется не к будущей сумме, а к сумме, уменьшающейся на величину дисконта, используется сложная учетная ставка d_е. Формула для определения сегодняшней стоимости при какой-то будущей сумме следующая:

P=S (1-d_е) ⁿ (15)

При дисконтировании раз в году применяется номинальная учетная ставка d_n.

P=S(1-d/m) ^mn (16)

где d/m= d_n.

Пример 6. Найти дисконт при продаже долгового обязательства со сроком погашения 3 года на сумму 50 тыс. руб., если применяется сложная учетная ставка 10 %, а дисконтирование осуществляется каждый квартал.

Найдем номинальную учетную ставку.

d_n = 0,1 / 4 = 0,025. P = 5000 * (1 – 0,025)¹² = 36899,9 руб.

Тогда дисконт будет равен:

Д = 5000 – 36898,9 = 13100,1 руб.

Аналогично эффективной ставке можно определить эффективную учетную ставку. Эффективная учетная ставка определяется за год и она эквивалентна номинальной учетной ставке при заданном значении m. Эффективная учетная ставка определяется по формуле:

d_e = 1 – (1 – d/m) (17)

Пример 7. Банк покупает ценную бумагу на сумму 20000 руб., со сроком погашения 5 лет, по учетной ставке 5 % с поквартальным начислением процентов. Определить эффективную учетную ставку и сегодняшнюю стоимость ценной бумаги.

d = 1 – (1 – 0,05/ 4)⁴ = 0,0490703 или 4,0907 %

P = 20000 * (1 – 0,049073)⁵ = 15,551488.

С помощью учетной ставки может осуществляться не только дисконтирование, но и наращивание процентов. Рост по сложной учетной ставке называется наращиванием по сложным антисипативным процентам. Наращенную по сложной учетной ставке сумму можно определить по формуле:

S = P * (1 / (1 - d)ⁿ) = P / (1 - d)ⁿ (18)

Или для номинальной учетной ставки:

S = P / (1 – d/m)^mn (19)

Пример 8. Трастовый фонд выдал кредит на сумму 500 тыс. руб., со сроком погашения I год. В кредитном договоре предусмотрено наращение процентов по сложной годовой ставке 15 %. Найти будущую сумму погашения.

__500__

S = (I – 0.15) = 588,235 тыс. руб.