Алгоритм решения транспортной задачи методом потенциалов

Алгоритм состоит из предварительного шага и повторяющегося общего шага.

На предварительном шаге выполняется следующее:

1) составляется первоначальный план одним из рассмотренных выше методов;

2) для полученного плана определяется система потенциалов,т.е. находятся m+n чиселu₁,...,u_m ; v₁,...,v_nиз системы m+n-1 линейных уравнений:v_j - u_i = с_ij, где номера i,j соответствуют загруженным клеткам таблицы. Поскольку число неизвестных превышает на единицу число уравнений, то одну из неизвестных полaгaeм равной произвольному числу, напримерu₁ = 0. Остальные неизвестные находятся из указанной выше системы линейных уравнений;

3) проверяется оптимальность плана по критерию оптимальности задачи. Такая проверка осуществляется, например, следующим образом. Для всех свободных клеток таблицы находим числа:W_ij =v_i - u_i - с_ij. Если все числаw_ij<= 0 , то критерий оптимальности выполняется. В противном случае - нет.

Общий шаг (применяется, если план, построенный на предыдущем шаге, не оптимален) состоит из трех этапов:

1) улучшение плана. Поскольку текущий план не является оптимальным, то существует свободная клетка таблицы, для которой справедливо неравенство wij>0. Свободную клетку таблицы, у которой положительное число wij>О является наибольшим, помечаем символом * (звездочка). Далее строим многоугольник, вершины которого лежат в загруженных клетках таблицы и в свободной клетке, помеченной звездочкой. Помечаем клетки-вершины полученного многоугольника попеременно знаками "+" и "-". Свободная клетка помечается знаком "+". Переход к новому плану перевозок груза осуществляется следующим образом. Наименьшая поставка, стоящая в клетках-вершинах многоугольника и помеченная знаком "-", прибавляется к перевозкам всех клеток-вершин, помеченных знаком "+", и вычитается из поставок всех клеток-вершин, помеченных знаком "-"‚. В результате; ранее свободная клетка становится заполненной (загруженной), а клетка, помеченная знаком "-", в которой стояла наименьшая поставка, превращается в свободную клетку^.Общее число занятых клеток остается равнымn+m-1.Если в пределах данного многоугольника минимальную поставку имели две клетки или более, то освобождаться может лишь одна из них, а остальные считаются загруженными с нулевыми поставками;

2) для полученного плана определяется система потенциалов;

3) проверяется оптимальность плана по критерию оптимальности задачи.