Алгоритм симплекс-метода

Рассмотрим алгоритм симплекс метода применитетельно к общей задаче ЛП. На предварительном шаге алгоритма определяется возможность применения симплекс-метода к задаче ЛП.

Шаг 0.Прежде чем применять симплекс-метод к общей задаче линейного программирования, ее следует привести к каноническому виду. После приведения задачи к каконическому виду будем иметь:

Векторы Р_n+1,…,_Pn+kобразуют базис. Если из векторов Р1 системы ограничений нельзя указать базис, то к такой задаче ЛП симплекс-метод напрямую не применяется.

Дальнейший вычислительный пpoцeсс удобнее вести, если условия задачи записать н следующей симплекс-таблице:

Базис	СБ	C1	C2	…	Cn+1	…	Cn+k	bi	i
		X1	X2	…	Xn+1	…	Xn+k
Xn+1	Cn+1	a11	a12	…	1	…	0	b1		1-е уравнение
…	…	…	…	…	…	…	…	…		…
Xn+k	Cn+k	ak1	ak2	…	0	…	1	bk		k-е уравнение
j>=0		1	2	…	n+1	…	n+k	z		Строка индексов

Шаг 1.По симплекс-таблице определяется опорное решение следующим образом: все свободные переменные приравниваются нулю, а базисные - соответствующим значениям столбцаbi; . Начальный опорный план имеет вид: Х⁽⁰⁾=(0,...,0,b₁,...,b_k). Проверим его на оптимальность, для этого заполним строку индексов в таблице. произведя следующие вычисления:

- значение целевой функции в гочке Х^(о).

Если в строке индексов нет отрицательных оценок, то вычисления следует завершить, так как текущий опорный план оптимален. В противном случае следует перейти к новому опорному решению, т. е. изменить базис.

Шаг 2. Для смены базиса Выбираются ведущий (разрешающий) столбец и ведущая (разрешающая) строка из следующих условий:

Ведущая строка показывает, какая переменная будет из нового базиса удалена, а ведущий столбец - какая переменная будет в новый базис включена.

Если в ведущем столбце нет а_i> 0, то исходная задача не имеет конечного рецаения (т. е. mах z=+).

Шаг 3.Строится новая симплекс-таблица, в которой вместо базисной переменной х, включена х. Новые коэффициенты аij и bi пересчитываются по следующим формулам:

Перейти к шагу 1.

Последовательное выполнение вычислений шагов 1-3 составляет одну итерацию симплекс-метода.

Итерации повторяется до тех пор, пока не будет найден оптимальный план или установлено отсутствие решения задачи.

Замечание. При выполнении вычислений шага 2 может получиться так, что минимум отношения окажется одинаковы м для нескольких номеров i, т. е. сразу несколько строк таблицы могут быть разрешающими. Если выбирать ведущую строку произвольно, то это может привести к зацикливанию алгоритма симплекс-метода (вырожденный случай). Чтобы избежать этого,рекомендуется этот выбор осуществлять по следующему правилу: для данных строк таблицы вычисляются отношения: а_i1/а_iи находится строка, для которой это отношение является минимальным. Если такая строка единственная, то ее считают разрешающей. В противном случае вычисляются следующие отношения: а_i1/а_iи т. д. В результате получим единственную разрешающую строку.