AlgebraMelnikov4 / PrimSetB
.pdf
Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет
Ю. Б. Мельников
Элементы канторовской ¾наивной¿ теории мно-
жеств
Раздел электронного учебника
для сопровождения практического занятия
Изд. 4-е, испр. и доп.
e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru
сайты: Екатеринбург
http://melnikov.k66.ru, 2012
http://melnikov.web.ur.ru
Пример 1 сравнения конечных множеств по мощности |
4 |
Пример 2 сравнения бесконечных множеств по мощности 10
Пример 3 мощности множества подмножеств конечного |
|
множества |
15 |
Задачи для самостоятельного решения |
49 |
Счетность множества |
49 |
Задача I.1 |
50 |
Задача I.2 |
51 |
Задача I.3 |
52 |
Задача I.4 |
53 |
Задача I.5 |
54 |
Задача I.6 |
55 |
Ответы и решения |
56 |
Пример 1. Пусть множество A |
|
|
|
2 |
|
4 | |
множество выражений, изображен- |
x2 |
|
1 |
(x 1) |
|
|
|
|
x + 1 |
|
x |
||
ных справа, B множество симво- |
x 2 |
|
|
|
||
x2 2x + 1 |
|
~ • |
||||
лов. |
|
|
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|||
Не подсчитывая количества элементов, выясните, в каком множестве больше элементов или покажите, что эти множества состоят из одинакового числа элементов.
Решение.
Пример 1. Пусть множество A |
|
|
|
2 |
|
4 | |
множество выражений, изображен- |
x2 |
|
1 |
(x 1) |
|
|
|
|
x + 1 |
|
x |
||
ных справа, B множество симво- |
x 2 |
|
|
|
||
x2 2x + 1 |
|
~ • |
||||
лов. |
|
|
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|||
Не подсчитывая количества элементов, выясните, в каком множестве больше элементов или покажите, что эти множества состоят из одинакового числа элементов.
Решение. Определим взаимно-однозначную функцию с областью определения A и областью значений B, например, так:
Пример 1. Пусть множество A |
|
|
|
2 |
|
4 | |
множество выражений, изображен- |
x2 |
|
1 |
(x 1) |
|
|
|
|
x + 1 |
|
x |
||
ных справа, B множество симво- |
x 2 |
|
|
|
||
x2 2x + 1 |
|
~ • |
||||
лов. |
|
|
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|||
Не подсчитывая количества элементов, выясните, в каком множестве больше элементов или покажите, что эти множества состоят из одинакового числа элементов.
Решение. Определим взаимно-однозначную функцию с областью определения A и областью значений B, например, так:
x (x 1)2 x2 1 x + 1 x 2 x2 2x + 1 |
|||
'(x) 4 |
| |
x ~ |
• |
Пример 1. Пусть множество A |
|
|
|
2 |
|
4 | |
множество выражений, изображен- |
x2 |
|
1 |
(x 1) |
|
|
|
|
x + 1 |
|
x |
||
ных справа, B множество симво- |
x 2 |
|
|
|
||
x2 2x + 1 |
|
~ • |
||||
лов. |
|
|
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|||
Не подсчитывая количества элементов, выясните, в каком множестве больше элементов или покажите, что эти множества состоят из одинакового числа элементов.
Решение. Определим взаимно-однозначную функцию с областью определения A и областью значений B, например, так:
x (x 1)2 x2 1 x + 1 x 2 x2 2x + 1 |
|||
'(x) 4 |
| |
x ~ |
• |
Значит, во множествах A и B равное число элементов.
Пример 1. Пусть множество A |
|
|
|
2 |
|
4 | |
множество выражений, изображен- |
x2 |
|
1 |
(x 1) |
|
|
|
|
x + 1 |
|
x |
||
ных справа, B множество симво- |
x 2 |
|
|
|
||
x2 2x + 1 |
|
~ • |
||||
лов. |
|
|
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|||
Не подсчитывая количества элементов, выясните, в каком множестве больше элементов или покажите, что эти множества состоят из одинакового числа элементов.
Решение. Если отождествлять равносильные выражения, т.е. отождествить (x 1)2 и x2 2x + 1, то для любой взаимно однозначной функции : A ! B имеем E( ) B, в частности, E( ) 6= B:
Пример 1. Пусть множество A |
|
|
|
2 |
|
4 | |
множество выражений, изображен- |
x2 |
|
1 |
(x 1) |
|
|
|
|
x + 1 |
|
x |
||
ных справа, B множество симво- |
x 2 |
|
|
|
||
x2 2x + 1 |
|
~ • |
||||
лов. |
|
|
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|||
Не подсчитывая количества элементов, выясните, в каком множестве больше элементов или покажите, что эти множества состоят из одинакового числа элементов.
Решение. Если отождествлять равносильные выражения, т.е. отождествить (x 1)2 и x2 2x + 1, то не существует взаимно однозначной функции : B ! A.
Значит, в этом случае во множестве A меньше элементов, чем в B.
Вернемся к лекции?
Пример 2. Докажем, что jNj = jZj.
Решение.