
AlgebraMelnikov4 / 00EulerFunct
.pdf
Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет
Ю. Б. Мельников
Функция Эйлера
Раздел электронного учебника
для сопровождения лекции
Изд. 4-е, испр. и доп.
e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru
сайты: Екатеринбург
http://melnikov.k66.ru, 2012
http://melnikov.web.ur.ru
I. Функция Эйлера |
3 |
II. Теорема о вычислении функции Эйлера |
5 |
III. Следствие о ' (p ) |
21 |
I. Функция Эйлера
Определение 1. Функция Эйлера ' определяется формулой: для натурального числа n число '(n) равно количество натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n.
Рассмотреть пример?
I. Функция Эйлера
Определение 1. Функция Эйлера ' определяется формулой: для натурального числа n число '(n) равно количество натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n.
Задача нахождения значения функции Эйлера возникает, например, при определении количества первообразных комплексных корней степени n из 1, см. критерий первообразности корня.
II. Теорема о вычислении функции Эйлера
Теорема 1. Если n = p1 1 : : : pkk , где pi различные простые чис-
ла, то |
1 p1 |
|
: : : |
1 pk |
= |
(1) |
|
' (n) = n |
|||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
= p1 1 p1 1 1 : : : pkk pkk 1 :
Доказательство.
II. Теорема о вычислении функции Эйлера
Теорема 1. Если n = p1 1 : : : pkk , где pi различные простые чис-
ла, то |
1 p1 |
|
: : : |
1 pk |
= |
(1) |
|
' (n) = n |
|||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
= p1 1 p1 1 1 : : : pkk pkk 1 :
Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0.
II. Теорема о вычислении функции Эйлера
Теорема 1. Если n = p1 1 : : : pkk , где pi различные простые числа, то
' (n) = n |
1 p1 |
|
: : : |
1 pk |
= |
(1) |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
= p1 1 p1 1 1 : : : pkk pkk 1 :
Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0. Пусть B1 множество всех тех чисел из A0, которые делятся на p1. Количество элементов во множестве B1 равно
II. Теорема о вычислении функции Эйлера
Теорема 1. Если n = p1 1 : : : pkk , где pi различные простые чис-
ла, то |
1 p1 |
|
: : : |
1 pk |
= |
(1) |
|
' (n) = n |
|||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
= p1 1 p1 1 1 : : : pkk pkk 1 :
Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0. Пусть B1 множество всех тех чисел
из A0, которые делятся на p1. Количество элементов во множестве
B1 равно p1 1 1 p2 2 : : : pkk .
II. Теорема о вычислении функции Эйлера
Теорема 1. Если n = p1 1 : : : pkk , где pi различные простые чис-
ла, то |
1 p1 |
|
: : : |
1 pk |
= |
(1) |
|
' (n) = n |
|||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
= p1 1 p1 1 1 : : : pkk pkk 1 :
Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0. Пусть B1 множество всех тех чисел из A0, которые делятся на p1. Количество элементов во множестве B1 равно p1 1 1 p2 2 : : : pkk . Значит во множестве A1 всех чисел из A0, не делящихся на p1, количество элементов равно
II. Теорема о вычислении функции Эйлера
Теорема 1. Если n = p1 1 : : : pkk , где pi различные простые чис-
ла, то |
1 p1 |
|
: : : |
1 pk |
= |
(1) |
|
' (n) = n |
|||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
= p1 1 p1 1 1 : : : pkk pkk 1 :
Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0. Пусть B1 множество всех тех чисел из A0, которые делятся на p1. Количество элементов во множестве B1 равно p1 1 1 p2 2 : : : pkk . Значит во множестве A1 всех чисел из A0, не делящихся на p1, количество элементов равно
p1 1 p2 2 : : : pkk p1 1 1 p2 2 : : : pkk = p1 1 p1 1 1 p2 2 : : : pkk :