Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

AlgebraMelnikov4 / 00EulerFunct

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
13.05.2015
Размер:
267.6 Кб
Скачать

Министерство образования и науки РФ Уральский государственный экономический университет

Ю. Б. Мельников

Функция Эйлера

Раздел электронного учебника

для сопровождения лекции

Изд. 4-е, испр. и доп.

e-mail: melnikov@k66.ru, melnikov@r66.ru

сайты: Екатеринбург

http://melnikov.k66.ru, 2012

http://melnikov.web.ur.ru

I. Функция Эйлера

3

II. Теорема о вычислении функции Эйлера

5

III. Следствие о ' (p )

21

I. Функция Эйлера

Определение 1. Функция Эйлера ' определяется формулой: для натурального числа n число '(n) равно количество натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n.

Рассмотреть пример?

I. Функция Эйлера

Определение 1. Функция Эйлера ' определяется формулой: для натурального числа n число '(n) равно количество натуральных чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n.

Задача нахождения значения функции Эйлера возникает, например, при определении количества первообразных комплексных корней степени n из 1, см. критерий первообразности корня.

II. Теорема о вычислении функции Эйлера

Теорема 1. Если n = p1 1 : : : pkk , где pi различные простые чис-

ла, то

1 p1

 

: : :

1 pk

=

(1)

' (n) = n

 

1

 

 

1

 

 

 

= p1 1 p1 1 1 : : : pkk pkk 1 :

Доказательство.

II. Теорема о вычислении функции Эйлера

Теорема 1. Если n = p1 1 : : : pkk , где pi различные простые чис-

ла, то

1 p1

 

: : :

1 pk

=

(1)

' (n) = n

 

1

 

 

1

 

 

 

= p1 1 p1 1 1 : : : pkk pkk 1 :

Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0.

II. Теорема о вычислении функции Эйлера

Теорема 1. Если n = p1 1 : : : pkk , где pi различные простые числа, то

' (n) = n

1 p1

 

: : :

1 pk

=

(1)

 

1

 

 

1

 

 

 

= p1 1 p1 1 1 : : : pkk pkk 1 :

Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0. Пусть B1 множество всех тех чисел из A0, которые делятся на p1. Количество элементов во множестве B1 равно

II. Теорема о вычислении функции Эйлера

Теорема 1. Если n = p1 1 : : : pkk , где pi различные простые чис-

ла, то

1 p1

 

: : :

1 pk

=

(1)

' (n) = n

 

1

 

 

1

 

 

 

= p1 1 p1 1 1 : : : pkk pkk 1 :

Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0. Пусть B1 множество всех тех чисел

из A0, которые делятся на p1. Количество элементов во множестве

B1 равно p1 1 1 p2 2 : : : pkk .

II. Теорема о вычислении функции Эйлера

Теорема 1. Если n = p1 1 : : : pkk , где pi различные простые чис-

ла, то

1 p1

 

: : :

1 pk

=

(1)

' (n) = n

 

1

 

 

1

 

 

 

= p1 1 p1 1 1 : : : pkk pkk 1 :

Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0. Пусть B1 множество всех тех чисел из A0, которые делятся на p1. Количество элементов во множестве B1 равно p1 1 1 p2 2 : : : pkk . Значит во множестве A1 всех чисел из A0, не делящихся на p1, количество элементов равно

II. Теорема о вычислении функции Эйлера

Теорема 1. Если n = p1 1 : : : pkk , где pi различные простые чис-

ла, то

1 p1

 

: : :

1 pk

=

(1)

' (n) = n

 

1

 

 

1

 

 

 

= p1 1 p1 1 1 : : : pkk pkk 1 :

Доказательство. Обозначим множество всех натуральных чисел, не превосходящих n, через A0. Пусть B1 множество всех тех чисел из A0, которые делятся на p1. Количество элементов во множестве B1 равно p1 1 1 p2 2 : : : pkk . Значит во множестве A1 всех чисел из A0, не делящихся на p1, количество элементов равно

p1 1 p2 2 : : : pkk p1 1 1 p2 2 : : : pkk = p1 1 p1 1 1 p2 2 : : : pkk :

Соседние файлы в папке AlgebraMelnikov4