AlgebraMelnikov4 / PrimIdeal
.pdf
Пример 2. В полугруппе N натуральных чисел с операцией умножения найдите минимальный идеал, включающий в себя число 6.
Решение. Обозначим искомый идеал через I. Возьмём m 2 I. По определению идеала полугруппы 8k 2 N 6k 2 I:
no
Поэтому 6k k 2 N I:
no
Проверим, что J = 6k k 2 N является идеалом: если x 2 N, то
n o n o n o
x J = x 6k k 2 N = 6kx fk; xg N = 6n n 2 N J:
no
Значит, J = 6k k 2 N является идеалом.
Пример 2. В полугруппе N натуральных чисел с операцией умножения найдите минимальный идеал, включающий в себя число 6.
Решение. Обозначим искомый идеал через I. Возьмём m 2 I. По определению идеала полугруппы 8k 2 N 6k 2 I:
no
Поэтому 6k k 2 N I:
no
Проверим, что J = 6k k 2 N является идеалом: если x 2 N, то
n o n o n o
x J = x 6k k 2 N = 6kx fk; xg N = 6n n 2 N J:
no
Значит, J = 6k k 2 N является идеалом. Ясно, что это минимальный идеал, содержащий 6.
Пример 2. В полугруппе N натуральных чисел с операцией умножения найдите минимальный идеал, включающий в себя число 6.
Решение. Обозначим искомый идеал через I. Возьмём m 2 I. По определению идеала полугруппы 8k 2 N 6k 2 I:
no
Поэтому 6k k 2 N I:
no
Проверим, что J = 6k k 2 N является идеалом: если x 2 N, то
n o n o n o
x J = x 6k k 2 N = 6kx fk; xg N = 6n n 2 N J:
no
Значит, J = 6k k 2 N является идеалом. Ясно, что это минимальный идеал, содержащий 6.
Все ли в решении оптимально?
Пример 2. В полугруппе N натуральных чисел с операцией умножения найдите минимальный идеал, включающий в себя число 6.
Решение. Обозначим искомый идеал через I. Возьмём m 2 I. По определению идеала полугруппы 8k 2 N 6k 2 I:
no
Поэтому 6k k 2 N I:
no
Проверим, что J = 6k k 2 N является идеалом: если x 2 N, то
n o n o n o
x J = x 6k k 2 N = 6kx fk; xg N = 6n n 2 N J:
no
Значит, J = 6k k 2 N является идеалом. Ясно, что это минимальный идеал, содержащий 6.
Мы не использовали m, можно его не вводить.
Пример 2. В полугруппе N натуральных чисел с операцией умножения найдите минимальный идеал, включающий в себя число 6.
Ответ. Искомый идеал можно представить в виде
no
6k k 2 N = f6; 12; 18; 24; : : :g :
Вернёмся к лекции?
Пример 3. В полугруппе N найдите произведение и пересече-
ние идеалов I = n6k |
|
k 2 No |
и J = n9m |
|
m 2 No. |
|
|
||||
Решение. |
|
|
|
||
Пример 3. В полугруппе N найдите произведение и пересече-
n o n o
ние идеалов I = 6k k 2 N и J = 9m m 2 N .
Решение.
I J =
Пример 3. В полугруппе N найдите произведение и пересече-
n o n o
ние идеалов I = 6k k 2 N и J = 9m m 2 N .
Решение.
n o n o
I J = 6k k 2 N 9m m 2 N =
Пример 3. В полугруппе N найдите произведение и пересече-
n o n o
ние идеалов I = 6k k 2 N и J = 9m m 2 N .
Решение.
n o n o n o
I J = 6k k 2 N 9m m 2 N = 54mk fk; mg N =
Пример 3. В полугруппе N найдите произведение и пересече-
n o n o
ние идеалов I = 6k k 2 N и J = 9m m 2 N .
Решение.
n o n o n o
I J = 6k k 2 N 9m m 2 N = 54mk fk; mg N =
no
=54n n 2 N :