AlgebraMelnikov4 / PrimIdeal
.pdfЗадача 7. Рассмотрим кольцо M матриц размерности 2 2 с вещественными коэффициентами. Является ли кольцо M евклидовым кольцом? Найти идеалы кольца M,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
, |
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
, |
порожденные |
каждым |
|
из множеств |
матриц: |
0 |
0 |
0 |
1 , |
0 |
1 |
|||||||||||||
|
0 |
0 |
; |
|
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
|
|
|
0 |
|
c d |
0 |
|
r t |
|
w 0 |
+ c 0 r t |
|
|
|
||||||||
|
w |
z 0 |
|
+ |
0 |
= |
= |
|
|||||||||||||||
|
|
u |
v |
|
1 |
|
0 |
|
a b |
1 |
0 |
p q |
|
|
u 0 |
|
|
a 0 |
p q |
|
|
||
Задача 7. Рассмотрим кольцо M матриц размерности 2 2 с вещественными коэффициентами. Является ли кольцо M евклидовым кольцом? Найти идеалы кольца M,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
, |
|
0 |
0 |
|
1 |
0 |
, |
порожденные |
каждым |
|
из множеств |
матриц: |
0 |
0 |
0 |
1 , |
0 |
1 |
|||||||||||||
|
0 |
0 |
; |
|
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
|
|
|
0 |
|
c d 0 |
0 r t |
|
w 0 |
+ c 0 r t |
|
|
|
||||||||||
|
w z 0 |
|
+ |
= |
= |
|
|||||||||||||||||
|
|
u v |
|
1 |
|
0 |
|
a b |
1 |
0 |
p q |
|
|
u 0 |
|
|
a 0 |
p q |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= w 0 |
+ |
cp cq |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 0 |
|
ap |
aq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 7. |
Рассмотрим |
кольцо M матриц |
размерности 2 2 |
с |
вещественными |
коэф- |
||||||||
фициентами. Является ли кольцо M евклидовым кольцом? Найти идеалы кольца M, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
порожденные |
каждым из |
множеств матриц: |
0 |
0 , |
0 |
1 , |
0 |
1 , |
||||||
|
0 |
0 |
; |
|
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
0 |
|
+ c d 0 |
0 r t = w 0 |
|
c 0 |
r t |
|
||||
w z |
0 |
+ |
= |
|||||||||
u v |
1 |
0 |
|
a b |
1 |
0 |
p q |
u 0 |
|
a 0 |
p q |
|
|
|
|
= |
w 0 |
+ cp cq = |
w + cp cq |
; |
|
|
|||
|
|
|
|
u 0 |
|
ap |
aq |
u + ap aq |
|
|
|
|
Задача 7. |
Рассмотрим |
кольцо M матриц |
размерности 2 2 |
с |
вещественными |
коэф- |
||||||||
фициентами. Является ли кольцо M евклидовым кольцом? Найти идеалы кольца M, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
порожденные |
каждым из |
множеств матриц: |
0 |
0 , |
0 |
1 , |
0 |
1 , |
||||||
|
0 |
0 |
; |
|
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. |
0 |
|
+ c d 0 |
0 r t = w 0 |
|
c 0 |
r t |
|
||||
w z |
0 |
+ |
= |
|||||||||
u v |
1 |
0 |
|
a b |
1 |
0 |
p q |
u 0 |
|
a 0 |
p q |
|
|
|
|
= |
w 0 |
+ cp cq = |
w + cp cq |
; |
|
|
|||
|
|
|
|
u 0 |
|
ap |
aq |
u + ap aq |
|
|
|
|
поэтому идеал, порожденный матрицей |
1 |
0 |
, совпадает со всем кольцом M. |
0 |
0 |
Задача 7. Рассмотрим кольцо M матриц размерности 2 2 с вещественными коэффициентами. Является ли кольцо M евклидовым кольцом? Найти идеалы кольца M,
порожденные |
каждым из множеств матриц: |
|
1 |
0 |
, |
|
0 |
0 |
, |
|
1 |
0 |
, |
||||||
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
||||||||||||||
|
0 |
0 |
; |
|
0 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ. Идеал, порожденный матрицей |
1 |
0 |
, совпадает со всем кольцом M. |
0 |
0 |
Аналогичный результат получается для остальных порождающих множеств.
Решение задачи 8.
Задача 8. Пусть K кольцо матриц размерности 2 2 с коэффициентами из кольца Z4 = f0; 1; 2; 3g вычетов кольца Z по модулю 4. Докажите, что подмножество I, состоящее из всех матриц с четными коэффициентами, является идеалом кольца K. Является ли этот
идеал главным?
Задача 8. Пусть K кольцо матриц размерности 2 2 с коэффициентами из кольца Z4 = f0; 1; 2; 3g вычетов кольца Z по модулю 4. Докажите, что подмножество I, состоящее из всех матриц с четными коэффициентами, является идеалом кольца K. Является ли этот
идеал главным?
Ответ. Ясно, что сумма матриц из является матрицей из I.
Задача 8. Пусть K кольцо матриц размерности 2 2 с коэффициентами из кольца Z4 = f0; 1; 2; 3g вычетов кольца Z по модулю 4. Докажите, что подмножество I, состоящее из всех матриц с четными коэффициентами, является идеалом кольца K. Является ли этот
идеал главным?
Ответ. Ясно, что сумма матриц из является матрицей из I. Следовательно, I образует подгруппу аддитивной группы кольца K.
Задача 8. Пусть K кольцо матриц размерности 2 2 с коэффициентами из кольца Z4 = f0; 1; 2; 3g вычетов кольца Z по модулю 4. Докажите, что подмножество I, состоящее из всех матриц с четными коэффициентами, является идеалом кольца K. Является ли этот
идеал главным?
Ответ. Ясно, что сумма матриц из является матрицей из I. Следовательно, I образует подгруппу аддитивной группы кольца K.
Умножение матриц сводится к умножению их коэффициентов и суммированию произведений.
Задача 8. Пусть K кольцо матриц размерности 2 2 с коэффициентами из кольца Z4 = f0; 1; 2; 3g вычетов кольца Z по модулю 4. Докажите, что подмножество I, состоящее из всех матриц с четными коэффициентами, является идеалом кольца K. Является ли этот
идеал главным?
Ответ. Ясно, что сумма матриц из является матрицей из I. Следовательно, I образует подгруппу аддитивной группы кольца K.
Умножение матриц сводится к умножению их коэффициентов и суммированию произведений. Произведение неотрицательного целого числа на четное число есть четное число (считая 0 четным числом). Сумма четных чисел есть число четное.