Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5124 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Уральский государственный экономический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

AlgebraMelnikov4 / PrimIdeal

.pdf
Скачиваний:
14
Добавлен:
13.05.2015
Размер:
937.36 Кб
Скачать
☆

Задача 5. Рассмотрим кольцо S = f0; j; i; i + j; 1; 1 + j; 1 + i; 1 + i + jg с операциями + и , заданными формулами: (a + bi + cj) + (x + yi + zj) =

= (a + x 2ax) + (b + y 2by)i + (c + z 2cz)j,

(a + bi + cj) (x + yi + zj) = 0. Покажите, что это коммутативное кольцо, найдите его идеалы. Ответ. Носитель каждой подгруппы аддитивной группы кольца S является носителем иде-

ала этого кольца. При этом, например, идеал

f0; 1; i; 1 + ig :

не является главным.

Решение задачи 6.

Задача 6. Рассмотрим кольцо P(x) многочленов с рациональными коэффициентами, т.е. с коэффициентами из Q. Определить, какие из множеств являются идеалами кольца P(x):

 

A = p(x)

 

 

p(1x) 2 P(x);

), т.е. множество всех тех многочленов из P

(x)

 

1)

 

(

 

0 p(x) dx = 0

 

 

 

, среднее значе-

ние которых на

отрезке [0; 1] равно 0;

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

2)

B =

(

 

p(2) = 0

)

P

(x), для которых

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число 2 является корнем;

 

 

 

 

 

 

3)

C =

(

 

p0(2) = 0

)

P

(x), производная

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которых обращается в ноль при x = 2.

Задача 6. Рассмотрим кольцо P(x) многочленов с рациональными коэффициентами, т.е. с коэффициентами из Q. Определить, какие из множеств являются идеалами кольца P(x):

 

A = p(x)

 

 

p(1x) 2 P(x);

), т.е. множество всех тех многочленов из P

(x)

 

1)

 

(

 

0 p(x) dx = 0

 

 

 

, среднее значе-

ние которых на

отрезке [0; 1] равно 0;

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

2)

B =

(

 

p(2) = 0

)

P

(x), для которых

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число 2 является корнем;

 

 

 

 

 

 

3)

C =

(

 

p0(2) = 0

)

P

(x), производная

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

которых обращается в ноль при x = 2.

Ответ.

Задача 6. Рассмотрим кольцо P(x) многочленов с рациональными коэффициентами, т.е. с коэффициентами из Q. Определить, какие из множеств являются идеалами кольца P(x):

 

A = p(x)

 

 

p(1x) 2 P(x);

 

), т.е. множество всех тех многочленов из P

(x)

 

1)

 

(

 

0 p(x) dx = 0

 

 

, среднее значе-

ние которых на

отрезке [0; 1] равно 0;

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

B =

(

 

p(2) = 0

 

)

 

 

P

(x), для которых

 

 

 

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число 2 является корнем;

 

 

 

 

 

 

 

 

3) C =

(

 

p0(2) = 0

)

P

(x), производная ко-

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торых обращается в ноль при x = 2.

Ответ. Множество A не является идеалом, поскольку, например,

Задача 6. Рассмотрим кольцо P(x) многочленов с рациональными коэффициентами, т.е. с коэффициентами из Q. Определить, какие из множеств являются идеалами кольца P(x):

 

A = p(x)

 

 

p(1x) 2 P(x);

 

), т.е. множество всех тех многочленов из P

(x)

 

1)

 

(

 

0 p(x) dx = 0

 

 

, среднее значе-

ние которых на

отрезке [0; 1] равно 0;

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

B =

(

 

p(2) = 0

 

)

 

 

P

(x), для которых

 

 

 

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число 2 является корнем;

 

 

 

 

 

 

 

 

3) C =

(

 

p0(2) = 0

)

P

(x), производная ко-

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торых обращается в ноль при x = 2.

Ответ. Множество A не является идеалом, поскольку, например,

1 2x 2 A; но x (1 2x) 2= A:

Задача 6. Рассмотрим кольцо P(x) многочленов с рациональными коэффициентами, т.е. с коэффициентами из Q. Определить, какие из множеств являются идеалами кольца P(x):

 

A = p(x)

 

 

p(1x) 2 P(x);

 

), т.е. множество всех тех многочленов из P

(x)

 

1)

 

(

 

0 p(x) dx = 0

 

 

, среднее значе-

ние которых на

отрезке [0; 1] равно 0;

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

B =

(

 

p(2) = 0

 

)

 

 

P

(x), для которых

 

 

 

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число 2 является корнем;

 

 

 

 

 

 

 

 

3) C =

(

 

p0(2) = 0

)

P

(x), производная ко-

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торых обращается в ноль при x = 2.

Ответ. Множество A не является идеалом, поскольку, например,

1 2x 2 A; но x (1 2x) 2= A:

Действительно,

1

Z

(1 2x) dx = 0;

0

Задача 6. Рассмотрим кольцо P(x) многочленов с рациональными коэффициентами, т.е. с коэффициентами из Q. Определить, какие из множеств являются идеалами кольца P(x):

 

A = p(x)

 

 

 

p(1x) 2 P(x);

 

), т.е. множество всех тех многочленов из P

(x)

 

1)

 

(

 

 

0 p(x) dx = 0

 

 

, среднее значе-

ние которых на

отрезке [0; 1] равно 0;

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) B =

(

 

 

p(2) = 0

 

)

 

 

 

P

(x), для которых

 

 

 

 

 

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число 2 является корнем;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) C =

(

 

 

p0(2) = 0

)

 

P

(x), производная ко-

 

 

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торых обращается в ноль при x = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. Множество A не является идеалом, поскольку, например,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2x 2 A; но x (1 2x) 2= A:

 

 

 

 

 

 

Действительно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z (1 2x) dx = 0;

Z x(1 2x) dx =

 

 

 

 

 

 

0

0

Задача 6. Рассмотрим кольцо P(x) многочленов с рациональными коэффициентами, т.е. с коэффициентами из Q. Определить, какие из множеств являются идеалами кольца P(x):

 

A = p(x)

 

 

 

p(1x) 2 P(x);

 

), т.е. множество всех тех многочленов из P

(x)

 

1)

 

(

 

 

0 p(x) dx = 0

 

 

, среднее значе-

ние которых на

отрезке [0; 1] равно 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) B =

(

 

 

p(2) = 0

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

(x), для которых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число 2 является корнем;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) C =

(

 

 

p0(2) = 0

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

(x), производная ко-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торых обращается в ноль при x = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. Множество A не является идеалом, поскольку, например,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2x 2 A; но x (1 2x) 2= A:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

x(1 2x) dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

 

 

 

Z0

x2

2

 

x=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 2x) dx = 0;

 

 

 

x3

 

x=0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6. Рассмотрим кольцо P(x) многочленов с рациональными коэффициентами, т.е. с коэффициентами из Q. Определить, какие из множеств являются идеалами кольца P(x):

 

A = p(x)

 

 

 

p(1x) 2 P(x);

 

), т.е. множество всех тех многочленов из P

(x)

 

1)

 

(

 

 

0

p(x) dx = 0

 

 

, среднее значе-

ние которых на

отрезке [0; 1] равно 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) B =

(

 

 

p(2) = 0

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

(x), для которых

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число 2 является корнем;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) C =

(

 

 

p0(2) = 0

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P

(x), производная ко-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торых обращается в ноль при x = 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ. Множество A не является идеалом, поскольку, например,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2x 2 A; но x (1 2x) 2= A:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Действительно,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

x(1 2x) dx =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Z0

 

 

 

Z0

x2

2

 

x=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 2x) dx = 0;

 

 

 

x3

 

x=0 6= 0;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 6. Рассмотрим кольцо P(x) многочленов с рациональными коэффициентами, т.е. с коэффициентами из Q. Определить, какие из множеств являются идеалами кольца P(x):

 

A = p(x)

 

 

p(1x) 2 P(x);

 

), т.е. множество всех тех многочленов из P

(x)

 

1)

 

(

 

0 p(x) dx = 0

 

 

, среднее значе-

ние которых на

отрезке [0; 1] равно 0;

 

 

 

 

 

 

 

R

 

 

 

 

 

 

 

 

2)

B =

(

 

p(2) = 0

 

)

 

 

P

(x), для которых

 

 

 

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

число 2 является корнем;

 

 

 

 

 

 

 

 

3) C =

(

 

p0(2) = 0

)

P

(x), производная ко-

 

p(x)

 

 

 

p(x) 2 P(x);

 

, т.е. множество всех тех многочленов из

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

торых обращается в ноль при x = 2.

Ответ. Множество A не является идеалом. Множество B есть идеал кольца.

Соседние файлы в папке AlgebraMelnikov4
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности