AlgebraMelnikov4 / PrimIdeal
.pdf
Пример 6. В кольце Z натуральных чисел найдите минимальный идеал M, включающий в себя числа 6 и 9. Поверьте, сов-
n o
падает ли M с идеалом K = 3n n 2 Z . Выразите M через
n o n o
I = 6k k 2 Z и J = 9m m 2 Z .
Решение.
n o n o
M = I ? J = 6k k 2 Z ? 9m m 2 Z =
= f6; 6; 12; 12; : : :g ? f9; 9; 18; 18; : : :g =
n o
= f 3; 6; 9; 12; 15; 18; : : :g = 3n n 2 Z = K:
Пример 6. В кольце Z натуральных чисел найдите минимальный идеал M, включающий в себя числа 6 и 9. Поверьте, сов-
n o
падает ли M с идеалом K = 3n n 2 Z . Выразите M через
I = n6k |
|
k 2 Zo |
и J = n9m |
|
m 2 Zo. |
|||||||
|
|
|||||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
M = I ? J = n6k |
|
k 2 Zo ? n9m |
|
m 2 Zo = |
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
= f6; 6; 12; 12; : : :g ? f9; 9; 18; 18; : : :g = |
|||||||||
= f 3; 6; 9; 12; 15; 18; : : :g = n3n |
|
n 2 Zo = K: |
||||||||||
|
||||||||||||
3 = ? |
+ ? ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|{z} |
|
|
|{z} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2I 2J
Пример 6. В кольце Z натуральных чисел найдите минимальный идеал M, включающий в себя числа 6 и 9. Поверьте, сов-
n o
падает ли M с идеалом K = 3n n 2 Z . Выразите M через
I = n6k |
|
k 2 Zo |
и J = n9m |
|
m 2 Zo. |
||||
|
|
||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
M = I ? J = n6k |
|
k 2 Zo ? n9m |
|
m 2 Zo = |
|||
|
|
|
|
||||||
= f6; |
6; 12; 12; : : :g ? f9; 9; 18; 18; : : :g = |
|||
= f 3; 6; 9; 12; 15; 18; : : :g = n3n |
|
n 2 Zo = K: |
||
|
||||
3 = 6 + |
9 |
2 M; |
||
|{z} |
|{z} |
|
|
|
2I 2J
Пример 6. В кольце Z натуральных чисел найдите минимальный идеал M, включающий в себя числа 6 и 9. Поверьте, сов-
n o
падает ли M с идеалом K = 3n n 2 Z . Выразите M через
n o n o
I = 6k k 2 Z и J = 9m m 2 Z .
Решение.
n o n o
M = I ? J = 6k k 2 Z ? 9m m 2 Z =
= f6; 6; 12; 12; : : :g ? f9; 9; 18; 18; : : :g =
n o
= f3; 6; 9; 12; 15; 18; : : :g = 3n n 2 Z = K:
3 = 6 + 9 2 M;
|{z}
|{z}
2I 2J
15 = ? + ? ;
|{z} |{z}
2I 2J
Пример 6. В кольце Z натуральных чисел найдите минимальный идеал M, включающий в себя числа 6 и 9. Поверьте, сов-
n o
падает ли M с идеалом K = 3n n 2 Z . Выразите M через
I = n6k |
|
k 2 Zo |
и J = n9m |
|
m 2 Zo. |
||||
|
|
||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
M = I ? J = n6k |
|
k 2 Zo ? n9m |
|
m 2 Zo = |
|||
|
|
|
|
||||||
= f6; 6; 12; 12; : : :g ? f9; 9; 18; 18; : : :g = |
||||||
= f3; 6; 9; 12; 15; 18; : : :g = n3n |
|
n 2 Zo = K: |
||||
|
||||||
3 = 6 + |
|
9 2 M; |
|
|
|
|
15 = 6 |
|{z} |
2 |
|
|
|
|
|{z} |
|
2J |
|
|
|
|
2I |
|
|
|
|
|
|
|{z} |
+ ( 9) |
|
M; |
|||
|{z} |
|
|
|
|
||
2I 2J
Пример 6. В кольце Z натуральных чисел найдите минимальный идеал M, включающий в себя числа 6 и 9. Поверьте, сов-
n o
падает ли M с идеалом K = 3n n 2 Z . Выразите M через
n o n o
I = 6k k 2 Z и J = 9m m 2 Z .
Решение.
n o n o
M = I + J = 6k k 2 Z + 9m m 2 Z =
= f6; 6; 12; 12; : : :g + f9; 9; 18; 18; : : :g =
n o
= f3; 6; 9; 12; 15; 18; : : :g = 3n n 2 Z = K:
3 = 6 + 9 2 M;
|{z}
|{z}
2I 2J
15 = 6 + ( 9) 2 M;. . .
|{z}
|{z}
2I 2J
Пример 6. В кольце Z натуральных чисел найдите минимальный идеал M, включающий в себя числа 6 и 9. Поверьте, сов-
n o
падает ли M с идеалом K = 3n n 2 Z . Выразите M через
n o n o
I = 6k k 2 Z и J = 9m m 2 Z .
Решение.
n o n o
M = I + J = 6k k 2 Z + 9m m 2 Z =
= f6; 6; 12; 12; : : :g + f9; 9; 18; 18; : : :g =
n o
= f 3; 6; 9; 12; 15; 18; : : :g = 3n n 2 Z = K:
Сравните с результатами решения задачи 4.
Вернёмся к лекции?
Пример 7. В кольце M3 3(R) матриц размерности 3 3 найти
0 1
1 0 0
минимальный идеал, содержащий @ 0 0 0 A.
0 0 0
Решение.
Пример 7. В кольце M3 3(R) матриц размерности 3 3 найти
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1. |
минимальный идеал, содержащий |
0 |
0 |
0 |
||
|
@ |
0 |
0 |
0 |
A |
Решение.
0 0 0 0 1 |
+ : : : + 0 |
0 0 0 1 |
= |
|||||||||||
@ |
1 |
0 |
0 |
A |
@ |
1 |
0 |
0 |
A |
|
||||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
||||||||
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
|
m слагаемых{z |
|
|
|
|
|
|||||
Пример 7. В кольце M3 3(R) матриц размерности 3 3 найти
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1. |
минимальный идеал, содержащий |
0 |
0 |
0 |
||
|
@ |
0 |
0 |
0 |
A |
Решение.
0 0 |
0 |
0 1 |
+ : : : + |
0 0 |
0 |
0 1 |
= |
0 0 |
0 |
0 1 |
; |
||||
1 |
0 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
m |
0 |
0 |
|
|
@ 0 |
0 |
0 A |
|
|
|
@ 0 |
0 |
0 A |
|
@ 0 |
0 |
0 A |
|
||
| |
|
|
|
|
|
|
|
} |
|
|
|
|
|
||
|
|
m слагаемых{z |
|
|
|
|
|
|
|
||||||