AlgebraMelnikov4 / 00GammaFunct

I.Эйлеровы интегралы. Гамма-функция

Вэтом разделе мы рассмотрим важный для многих применений пример приложения несобственных интегралов, зависящих от параметра. Особое внимание мы уделим так называемой гамма-функции, продолжающей функцию натурального аргумента f(n) = n! ¾почти на все¿ множество всех действительных чисел.

I. Эйлеровы интегралы. Гамма-функция

Определение 1. Эйлеровым интегралом первого рода называ-

ется функция B(p; q), заданная формулой

1

B(p; q) = R xp 1(1 x)q 1 dx;

0

где Re(p) > 0 и Re(q) > 0.

I. Эйлеровы интегралы. Гамма-функция

Определение 1. Эйлеровым интегралом первого рода называ-

ется функция B(p; q), заданная формулой

1

B(p; q) = R xp 1(1 x)q 1 dx;

0

где Re(p) > 0 и Re(q) > 0.

Определение 2. Гамма-функцией (Эйлеровым интегралом

второго рода) называется функция (y) заданная для положи-

+1

тельных значений переменной y формулой (y) = R xy 1e x dx.

0

Значения гамма-функции для отрицательных нецелых значений переменной y определяются с помощью рекуррентного соотношения

(y + 1)

(y) = y , справедливость которого для положительных значений переменной y доказана ниже.

График гамма-функции приведен на рис.1.

II. Свойства интегралов Эйлера

Рекуррентные соотношения: (p + 1) = p (p), где p 2= f0; 1; 2;

II. Свойства интегралов Эйлера

Рекуррентные соотношения: (p + 1) = p (p), где p 2= f0; 1; 2;

Связь с факториалом: (n + 1) = n! Таким образом, гаммафункция является продолжением факториала на все действительные значения аргумента, кроме f0; 1; 2; : : :g.

II. Свойства интегралов Эйлера

Рекуррентные соотношения: (p + 1) = p (p), где p 2= f0; 1; 2;

Связь с факториалом: (n + 1) = n! Таким образом, гаммафункция является продолжением факториала на все действительные значения аргумента, кроме f0; 1; 2; : : :g.

Формулы приведения: если p = n + , где n целое число и 0 < < 1, то

(n + ) = (n + 1) (n + 2) : : : ( ):

Эту формулу записывают и так:

(p) = (p 1) (p 2) : : : (p n) (p n); если p n > 0:

II. Свойства интегралов Эйлера

Рекуррентные соотношения: (p + 1) = p (p), где p 2= f0; 1; 2;

Связь с факториалом: (n + 1) = n! Таким образом, гаммафункция является продолжением факториала на все действительные значения аргумента, кроме f0; 1; 2; : : :g.

Формулы приведения: если p = n + , где n целое число и 0 < < 1, то

(n + ) = (n + 1) (n + 2) : : : ( ):