6. Постановка транспортной задачи

Пусть в m пунктах производится определенное количество однородной продукции. Эту продукцию требуется доставить в n пунктов потребления. При этом количество производимой про­дукции в точности равно количеству потребляемой продукции.

Стоимость перевозки единицы продукции из каждого пункта производства в каждый пункт потребления известна.

Требуется так распределить поставки продукции из пунк­тов производства к пунктам потребления, чтобы общая стоимость перевозок была минимальной.

Для составления математической модели этой задачи вве­дем следующие обозначения:

n - число пунктов производства;

i - номер пункта производства ( i = 1,m );

n - число пунктов потребления;

j - номер пункта потребления ( j = 1,n );

а_i - количество единиц продукции, производимое в i-м пункте производства;

b_j - количество единиц продукции, которое необходимо дос­тавить в j-й пункт потребления;

с_ij- стоимость перевозки единицы продукции от i-го пункта производства к j-му пункту потребления;

х_ij - количество единиц продукции, доставляемое из i-го пунк­та производства в j-й пункт потребления. Величины х_ij требуется определить.

Совокупность m х n чисел х_ij будем называть планом пе­ревозок груза, а матрицу С = [с_ij] - матрицей транспортных из­держек.

План перевозок груза называется допустимым, если числа х удовлетворяют следующим условиям:

(1)

в которых, первые m равенств означают, что из каждого пункта производства вывозится весь произведенный продукт, а послед­ние n равенств означают, что каждый пункт потребления полно­стью удовлетворяется

Общая стоимость перевозок всей продукции равна

(2)

которая должна быть по условию задачи минимальной.

Таким образом, решение транспортной задачи сводится к минимизации линейной функции (2) при ограничениях (1).

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1.10. Для разрешимости транспортной задачи не­обходимо и достаточно, чтобы запасы произведенной продукции совпадали с общими суммарными потребностями потребителей:

(3)

Отсюда вытекает важное следствие. Из m+n уравнений в системе ограничений транспортной задачи одно (любое) уравне­ние можно отбросить, так как оно вытекает из остальных m+n-1 уравнений.

Действительно, если определены количество груза у всех отправителей и потребность всех потребителей, кроме одного, то спрос последнего легко устанавливается как разница между об­щим запасом и общей потребностью других потребителей. По­скольку модель транспортной задачи содержит m+n-1 независи­мых уравнений, любой ее невырожденный план включает m+n-1 переменных с положительным значением. Поэтому из m х n воз­можных маршрутов перевозок в оптимальном плане транспорт­ной задачи загружается не более m+n-1 маршрут.

Если план задачи включает меньше чем m+n-1 положи­тельных переменных, то он называется вырожденным планом. О некоторых приемах, позволяющих избежать вырождения плана, будет сказано ниже. Опасность же возникновения цикла в транс­портной задаче практически исключена.

В линейном программировании существует теорема, кото­рую мы приводим без доказательства.

Теорема 1.11. В транспортной задаче всегда существует оптимальный план, в котором число ненулевых компонент не бу­дет превышать m+n-1.

При этом если исходные величины поставок а_i и b_j являются целыми числами, то и все переменные в оптимальном плане будут целыми величинами. Свойство целочисленности оказыва­ется практически важным при планировании перевозок недели­мых грузов.

Рассмотренная модель транспортной задачи, в которой ко­личество производимой продукции равно количеству потребляе­мой продукции, называется закрытой моделью.

В экономических расчетах немалую роль играют и так на­зываемые открытые модели, в которых равенство (3) не со­блюдается. При этом возможны два случая: или количество про­изводимой продукции больше потребности получателей, или, на­оборот, спрос превышает предложение.

Если количество производимой продукции больше потреб­ности получателей, то открытая транспортная задача формули­руется следующим образом:

при условиях

Поскольку не весь произведенный груз будет направляться потребителям, первая группа ограничивающих условий имеет форму не уравнений, а неравенств, которые можно преобразовать

в уравнения с помощью введения дополнительных неотрицатель­ных переменных. Тогда вместо неравенств будем иметь систему уравнений

где х_1n+1,...х_mn+1 - дополнительные переменные, обозначающие не используемую для перевозок часть произведенной продукции.

Эти дополнительные переменные удовлетворяют следую­щему условию:

Таким образом, в открытую транспортную задачу включа­ется условный (фиктивный) потребитель, которому в качестве спроса приписывается разница между произведенным товаром и фактической потребностью в нем.

Как и в общей задаче линейного программирования, до­полнительные переменные входят в целевую функцию с нулевы­ми коэффициентами.

Введением условного потребителя открытая модель преоб­разуется в закрытую модель и решается затем как обычная транс­портная задача.

При решении открытой транспортной задачи с включением условного потребителя в оптимальном плане основные перемен­ные покажут рациональные маршруты и объемы перевозок на них, а дополнительные переменные - непереводимый остаток производимой продукции.

Другой вариант открытой транспортной задачи возникает тогда, когда спрос потребителей оказывается выше возможностей производителей. В этом случае задача формулируется следую­щим образом:

при условиях

Очевидно, что здесь дополнительные переменные должны вводиться во вторую группу ограничений. Это равнозначно включению в модель условного (фиктивного) производителя, у которого наличие продукта равно разнице между общим спросом и фактически произведенным продуктом. Вместе с условным производителем расширенная модель оказывается закрытой мо­делью, и к ней применяется один из методов решения транспорт­ной задачи. Часть спроса, не обеспечиваемая производством то­варов, в оптимальном плане будет отражена в переменных услов­ного производителя.

Условия транспортной задачи обычно записываются в виде следующей таблицы: