5. Двойственная задача линейного программирования

Рассмотрим задачу линейного программирования

при ограничениях

На основе тех же исходных данных может быть поставлена еще одна задача:

при ограничениях

Сопоставим обе задачи. Первая из них - задача на макси­мум, вторая - задача на минимум; в соответствии с этим изме­нился и характер ограничений (знак неравенств). В первой задаче n неизвестных и k ограничений, во второй - k неизвестных и n ограничений. Коэффициенты в целевых функциях и величины в правых частях неравенств при переходе от одной задачи к другой меняются местами. Кроме того, при этом переходе транспониру­ется матрица ограничений А.

Обе задачи образуют двойственную пару задач. Первую из них называют прямой задачей, а вторую - двойственной.

Общие правила построения двойственной задачи:

1) каждому ограничению исходной задачи соответствует двойственная переменная;

2) матрицы ограничений взаимно транспонированы;

3) правые части системы ограничений одной задачи являются коэффициентами при соответствующих переменных целевой функции другой задачи. При этом максимизация целевой функ­ции заменяется на минимизацию, и наоборот.

4) каждому ограничению-неравенству исходной задачи соот­ветствует в двойственной задаче условие не отрицательности соответствующей двойственной переменной, а равенству – произвольная двойственная переменная.

В линейном программировании доказывается следующая основная теорема двойственности.

Теорема 1.8. Если одна из двойственных задач линейного программирования имеет решение, то имеет решение и другая. При этом значения целевых функций совпадают, т.е.

Экономическая интерпретация двойственной задачи.

Для экономической интерпретации двойственной задачи будем полагать, например, что прямая задача - задача распреде­ления ресурсов. Предположим, что в производстве используется k различных видов ресурсов, объем которых ограничен величи­нами b₁. Может производиться n видов продукции, величина выпуска которых характеризуется переменными х_j. Известны нормы затрат каждого ресурса на единицу каждого вида продукции – а_ij, а также стоимостная оценка единицы продукции – с_j.

Переменные величины, подлежащие определению в двой­ственной задаче, являются оценки у_j, приписываемые каждому виду ресурсов. Они должны быть такими, чтобы общая оценка всего имеющегося количества ресурсов была минимальной, но при условии, что суммарная оценка ресурсов, расходуемых на единицу любого вида продукции, будет не меньше, чем цена за эту единицу.

С экономической стороны решение прямой задачи дает оп­тимальный план выпуска продукции, а решение двойственной за­дачи - оптимальную систему условных оценок применяемых ре­сурсов.

Следующая теорема устанавливает связь между решениями двух задач.

Теорема 1.9. Пусть х₁^*,...,х_n* и у₁*,...,у_k^* -оптимальные планы двойственных задач. Тогда

1. Если а_i1х₁^* +... + а_inх_n* <b_i (), то у_i^* = 0.

2. Если y_i^*>0 (), тоa_i1x₁^*+…+a_inx_n^*=b_i.

Экономическое содержание:двойственные оценки не полностью используемых ресурсов всегда равны нулю; положительную двойственную оценку могут иметь лишь ресурсы, полностью используемые в оптимальном плане.

3. Если a_1jy₁^*+…+a_kjy_k^*>c_j (), тоx_j^*= 0.

4. Если x_j^*> 0 (), тоa_1jy₁^*+…+a_kjy_k^*=c_j.

Экономическое содержание: если по двойственным оценкам производство данной продукции убыточно, то выпускать ее не рационально и она не вошла в оптимальный план; если данный вид продукции вошел в оптимальный план, то двойственная оценка затраченных ресурсов равна ее цене и производство продукции по оценкам оправдано.