4. Методы искусственного базиса

Многие практические задачи линейного программирования не содержат линейно независимой системы единичных векторов Р_j, которую можно выбрать в качестве первого базиса задачи. В

этом случае в задачу вводят дополнительно к единичных векто­ров Р_n+1,..., Р_n+k, образующих базис.

Пусть задана следующая основная задача линейного про­граммирования:

(1)

при линейных ограничениях

(2)

1-й метод. Рассмотрим вспомогательную задачу:

при ограничениях

Переменные х_п+1,...,х_п+к называются искусственными, а связанная с ними система векторов Р_n+1,...,P_n+k - искусствен­ным базисом вспомогательной задачи. Следует здесь заметить, что если среди векторов Р_j есть векторы, которые могут быть элементами базиса, то в соответствующие равенства исходной системы ограничений нет смысла вводить искусственные пере­менные.

Теперь к вспомогательной задаче можно применить сим­плекс-метод и найти ее решение.

Теорема 1.6. Вспомогательная задача всегда разрешима. При этом 0. Если=0 и достигается на плане х = (х₁,...х_п,х_п+1,...,х_п+k), то вектор х = (х₁,...х_п) является опорным планом исходной задачи (1),(2). Если <0 , то система условий (2) несовместна.

Продолжая итерации симплекс-метода для модифициро­ванной последней симплекс-таблицы вспомогательной задачи, найдем решение исходной задачи. Модификация симплекс-таблицы состоит в удалении искусственных переменных и замене коэффициентов целевой функции вспомогательной задачи на со­ответствующие коэффициенты целевой функции (2).

2-й метод. Рассмотрим следующую расширенную задачу, часто называемую М-задачей:

(3)

при ограничениях

(4)

где М - некоторое достаточно большое положительное число, конкретное значение которого обычно не задается.

Переменные х_n+1,...,х_n+k также называют искусственны­ми, а связанная с ними система векторов Р_n+1,...,Р_n+k - искусст­венным базисом, расширенной задачи.

Теорема 1.7. Если в оптимальном плане расширенной за­дачи (3),(4) все искусственные переменные равны нулю, то полученное оптимальное решение является решением исходной задачи (1), (2). Если в оптимальном плане расширенной за­дачи (3), (4) хотя бы одна искусственная переменная отлич­на от нуля, то исходная задача (1), (2) решения не имеет.

В этом методе искусственного базиса исходные данные расширенной задачи заносятся в таблицу, которая содержит на одну строку больше, чем обычная симплекс-таблица. Это связано с тем, что разности состоят из двух частей, од­на из которых зависит от М, а другая - нет. В (к+2)-ю строку по­мещаются коэффициенты при М, а в (к+1)-ю - слагаемые, не со­держащие М.

При переходе от одного опорного плана к другому в базис вводят переменную, соответствующую наименьшему отрица­тельному числу (к+2)-й строки. Искусственная переменная, ис­ключенная из базиса в результате некоторой итерации, в даль­нейшем не вводится ни в один из последующих базисов, и преоб­разование столбца симплексной таблицы, соответствующего этой переменной, не производится.

Пересчет симплекс-таблиц при переходе от одного опорно­го плана к другому производится по общим правилам симплекс-метода. Итерационный процесс по (к+2)-й строке ведут до тех пор, пока:

1) либо все искусственные переменные не будут исключены из базиса;

2) либо не все искусственные переменные исключены из бази­са, но (к+2)-я строка не содержит больше отрицательных элемен­тов в столбцах векторов Р₁, . . . , Р_n+k.

В первом случае базис отвечает некоторому опорному пла­ну исходной задачи, и определение ее оптимального плана про­должают по (к+1)-й строке симплекс-таблицы.

Во втором случае, если элемент, стоящий в (к+2)-й строке столбца вектора Р₀, отрицателен, то исходная задача не имеет решения; если же он равен нулю, то найденный опорный план исходной задачи является вырожденным и базис содержит по крайней мере один из векторов искусственного базиса.