Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский государственный экономический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методы оптимальных решений / 404921108

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2015

Размер:

2.24 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

разрешающей строкой будет первая, искусственная базисная переменная х8 становится свободной, а приращение искусственной целевой функции будет равно 5. В качестве разрешающего столбца выбираем четвертый (переменная х4 становится базисной). Искусственная переменная х8 на следующем шаге становится свободной, поэтому вычисления в восьмом столбце и в нижней индексной строке можно не делать. Нулевые значения искусственных переменных означают, что получено оптимальное решение вспомогательной задачи. Переходим к следующей симплексной таблице.

Таблица 3

bi / aij

3 / 5

1/ 5

3 /10

3 / 2

1/10

2 / 5

3 / 2

1/10

1/ 2

3 /10

1/ 5

5 / 2

11/ 5

2 / 5

3 / 5

Решение вспомогательной задачи закончено. Получен ее оптимальный

план X 3

(5 / 2, 0, 0,1, 0,3 / 2, 0, 0, 0) , в котором все искусственные переменные

стали свободными. Удаляя ненужные больше столбцы с искусственными переменными и индексную строку для искусственной целевой функции, получаем первую таблицу и первый базисный план X 1 (5 / 2,0,0,1,0,3 / 2,0) для кано-

нической задачи (I I) , при этом f ( X 1 )

4 – сосчитано в предыдущей таблице.

Таблица 4-1

bi / aij

3 / 5

1/ 5

3 /10

3 / 2

1 / 10

2 / 5

3 / 2

1/10

1/ 2

3 /10

1/ 5

5 / 2

11/ 5

/ 5

3 / 5

План

X 1

неоптимальный,

так

как есть

три

отрицательных

оценки

2 , 5

2 / 5 и 7

3 / 5.

Анализ столбцов и минимальных отношений

их элементов показывает, что если сделать базисной переменную х3, то свободной становится переменная х6, при этом приращение целевой функции будет равно 3 (b2 / a23 ) ( 2) ((3 / 2)(3 / 2)) 2 . Если сделать базисной пе-

ременную х5, то свободной также становится х6, а		приращение целевой функции
5 (b2 / a25 )	( 2 / 5) ((3 / 2) (1/ 10)) 6 .	Если сделать базисной пере-

42
менную х7, то целевая функция увеличится на	9 / 4 . Поэтому выбираем в

качестве разрешающих пятый столбец и вторую строку. Следующая таблица оказывается последней.

								Таблица 4-2
Б	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	B	bi / aij
x4	0	0	3	1	0	2	1	4
x5	0	3	15	0	1	10	4	15
x1	1	1	4	0	0	3	1	7
f	0	1	4	0	0	4	1	10

План X 2 (7,0,0, 4,15,0,0) оптимальный, невырожденный и единствен-

ный. Оптимальное значение f Opt f ( X 2 ) 10 . Решение канонической задачи из пункта 8.1 закончено. Отбрасывая балансовые переменные х5, х6, и х7, полу-

чаем решение задачи (I) из 8.1: X Opt				(7, 0, 0, 4) ,			f Opt	10 .
8.5. Пример построения M - задачи. После введения балансовых и искус-
ственных переменных задача (I I) из 8.1 принимает вид:
f ( X )	2x1	3x2	x3 x4		Max;
2x1	x2	x3	2x4	x5			x8		7
x1	x2	x3	x4		x6				3
2x1	2x2	x3	3x4			x7		x9	2,
x1 0, x2		0, x3	0, x4	0, x5 0, x6			0, x7	0, x8	0, x9 0.

Базисные переменные х6, х8	и х9. Целевая функция вспомогательной
M - задачи f (X , X ) 2x1 3x2 x3	x4 M x8 M x9 . Вспомогательную целе-

вую функцию выражаем через свободные переменные. Из первого и третьего уравнений системы ограничений находим

7 2x1

x3 2x4

x5 , x9

2 2x1

2x2

3x4

x7 ,

и f (X , X ) (2 4M )x1 (3 M )x2 (1 2M )x3 (1 M )x4 Mx5 Mx7 9M.

Получаем каноническую базисную форму M - задачи:

f (X ,X )

(2 4M )x1

(3 M )x2

(1 2M )x3

(1 M )x4 M x5

M x7

9M Max;

2x1

2x4

2x1

2x2

3x4

0, x2

0, x3

0, x4

0, x5 0, x6

0, x7

0, x8

0, x9

8.6. Целью решения M - задачи является перевод в процессе улучшения опорных планов всех искусственных переменных в свободные. Составляем

первую симплексную таблицу для M - задачи.

Таблица 1

Б	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	B	bi / aij

x8	2	1	1	2	1	0	0	1	0	7	7 / 2
x6	1	1	1	1	0	1	0	0	0	3	3

x9	2	2	1	3	0	0	1	0	1	2	1

f	2 4M	3 M	1 2M	1 M	M	0	M	0	0	9M

Опорный план	X 1	(0,0,0,0,0,3,0,7, 2)	неоптимальный, его можно

улучшить. Единственная отрицательная оценка			1	2	4M 0 . Переменная
x1 становится базисной, а искусственная переменная x9					‒ свободной. При по-

строении следующей таблицы элементы девятого столбца можно не вычислять.

Таблица 2

Б	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	x9	B	bi / aij
x8	0	3	0	5	1	0	1	1		5	1

x6	0	0	3 / 2	1/ 2	0	1	1/ 2	0		2	4

x1	1	1	1/ 2	3 / 2	0	0	1/ 2	0		1
f	0	1 3M	2	-2 - 5M	M	0	1 M	0		2 5M

Опорный план X 2 (1, 0, 0, 0, 0, 2, 0,5, 0) неоптимальный. Имеются четыре отрицательных оценки. В качестве разрешающих выбираем четвертый столбец и первую строку. Переменная х4 становится базисной, искусственная переменная х8 ‒ свободной. В следующей таблице все искусственные переменные становятся свободными, на этом решение M - задачи заканчивается. Никаких вычислений в столбцах с искусственными переменными делать не надо. Последняя таблица для M - задачи.

Таблица 3

bi / aij

3 / 5

1/ 5

3 /10

3 / 2

1/10

2 / 5

/ 2

1/10

1/ 2

3 /10

1/ 5

/ 2

11/ 5

2 / 5

3 / 5

Удалив столбцы с искусственными переменными и знак вспомогательной целевой функции, получаем первую таблицу и первый базисный план

X 1 (5 / 2,0,0,1,0,3 / 2,0)

для задачи (II) (такие же, как и в методе искусствен-

ной целевой функции):

Таблица 4-1

bi / aij

3 / 5

1/ 5

3 /10

3 / 2

1 / 10

2 / 5

3 / 2

1/10

1/ 2

3 /10

1/ 5

5 / 2

11/ 5

/ 5

3 / 5

Замечание. Если в процессе решения M - задачи искусственные переменные становятся свободными, то есть поставленная цель достигнута, то ни одна из получившихся оценок переменных канонической задачи и значение целевой функции не будут содержать букву M .

8.7. Задача (II) в канонической форме из 8.1 имеет вид:
		f ( X ) 2x1					3x2			x3	x4		Max;
			2x1				x2	x3		2x4 x5					7
					x1		x2	x3			x4		x6		3
			2x1			2x2		x3		3x4				x7	2,
		x1		0, x2			0, x3		0, x4			0, x5	0, x6	0, x7	0.
Составим для нее таблицу с расширенной матрицей

		x1			x2		x3			x4		x5	x6	x7		B
		2			1		1			2		1	0	0	7

		1			1		1			1		0	1	0	3

		2			2		1			3		0	0	1	2

и сравним ее с последней симплексной таблицей 4.2 из 8.4.
																Таблица 4-2
	Б	x1			x2		x3			x4		x5	x6	x7		B	bi / aij
	x4	0		0			3			1		0	2	1		4
	x5	0		3			15			0		1	10	4		15
	x1	1		1			4			0		0	3	1		7
	f	0		1			4			0		0	4	1		10

Столбцы A4 , A5			и A1			матрицы A системы ограничений в таблице 4-2 об-

разуют единичную матрицу. Соответствующие столбцы в матрице A исходной

системы ограничений образуют оптимальный базис. В рассматриваемом при-

		2	1	2
S	A4 A5 A1	1	0	1
мере базисные столбцы образуют матрицу		3	0	2	. Зна-

чения базисных переменных в оптимальном плане удовлетворяют уравнению

S X BOpt B , и X BOpt Q B , где Q	S 1 .
Пятый, шестой и седьмой столбцы матрицы A системы ограничений за-
дачи (I I) образуют единичную матрицу. Столбцы матрицы Q				Q1Q2Q3		рас-
положены на соответствующих местах в		таблице 4.2: Q1		A5	, Q2	A6	и
Q3 A7 .
	0	2	1
	Q 1	10	4
В рассматриваемом примере	0	3	1 .

Матрица Q позволяет ответить на вопрос, останется ли найденный базис оптимальным при изменении вектора B правых частей системы ограничений, и получить оптимальное решение измененной задачи.

8.8.Двойственные оценки оптимального плана канонической задачи (II)

истандартной задачи (I) равны оценкам переменных, отвечающих единичным


столбцам матрицы A . Из таблицы 4.2 получаем, что y1*				5 0 , y2*	6 4 и
y*	7	1	. С помощью двойственных оценок можно оценить изменение опти-
3	7

мального значения целевой функции при изменении правой части какого-либо ограничения. В частности, можно проверить выполнение равенства

y1*b1		y2*b2		y3*b3	0 (		7)	4 3	1 ( 2)	10	f Opt .
Пусть в условиях рассматриваемой задачи (I I) правая часть третьего
уравнения увеличивается на единицу: b3								2	b3	1. Вычислив
				0	2	1		7	5	x4
		Q B		1	10	4		3	19	x5
				0	3	1		1	8	x1 ,
приходим к выводу, что базис					A4 , A5 , A1			остается оптимальным, оптимальное
приходим к выводу, что базис								остается оптимальным, оптимальное
решение новой	задачи			(I I )	X Opt		(8,0,0,5,19,0,0) , приращение целевой
функции равно	y*	1	, и	f Opt	11	. Применительно к задаче (I)						новый опти-
функции равно	3		, и			. Применительно к задаче (I)						новый опти-
мальный план X Opt		(8,0,0,5) , а новое оптимальное значение									f Opt	11.

8.9. С помощью симплекс-метода можно искать двойственные оценки оптимального плана задачи ЛП в канонической форме. Рассмотрим следующую задачу:

	f ( X )	2x1	x2 x3 x4		x5		Max;
	2x1	x2	2x3	3x4	x5		33
	3x1	6x2	3x3	8x4	x5		12
	6x1		9x3	x4	2x5		24,
	x1	0, x2	0, x3	0, x4	0, x5	0.
После введения искусственных неотрицательных переменных х6, х7 и х8
система ограничений принимает вид:
2x1	x2	2x3	3x4	x5	x6			33
3x1	6x2	3x3	8x4	x5		x7		12
6x1		9x3	x4	2x5			x8	24,

	x1	0, x2			0, x3		0, x4		0, x5	0, x6			0, x7	0, x8		0.
Искусственная целевая функция									f (X , X )			x6	x7	x8	после исключе-
ния базисных переменных принимает вид:
			f (X , X ) 11x1					5x2 4x3			6x4		2x5	69 .
Составляем первую симплекс-таблицу.
															Таблица 1
	Б	x1		x2		x3	x4		x5	x6		x7		x8	B		bi / aij

	x6	2		1		2	3		1	1		0		0	33		33 / 2

	x7	3		6		3	8		1	0		1		0	12		4

	x8	6		0		9	1		2	0		0		1	24		4
	f	2		1		1	1		1	0		0		0	0

	f	11		5		4	6		2	0		0		0	69

Заметим, что минимальное отношение для элементов первого столбца возникает во второй и в третьей строках, поэтому следующий базисный план будет вырожденным.

Таблица 2

Б	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	B	bi / aij

x6	0	5	0	25 / 3	5 / 3	1	2 / 3	0	25
x1	1	2	1	8 / 3	1/ 3	0	1/ 3	0	4
x8	0	12	15	15	4	0	2	1	0	0

f	0	3	1	13 / 3	5 / 3	0	2 / 3	0	8

f	0	17	15	70 / 3	17 / 3	0	11/ 3	0	25

Для всех разрешающих столбцов разрешающей строкой может быть только вторая. При переходе к следующей таблице значение целевой функции не изменится.

Таблица 3

Б	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	B	bi / aij

x6	0	5 / 3	25 / 3	0	5 / 9	1	4 / 9	5 / 9	25	3

x1	1	2 /15	5 / 3	0	17 / 45	0	1/ 45	8 / 45	4

x4	0	4 / 5	1	1	4 /15	0	2 /15	1/15	0

f	0	7 /15	10 / 3	0	23 / 45	0	4 / 45	13 / 45	8

f	0	5 / 3	-25 / 3	0	5 / 9	0	5 / 9	14 / 9	25

На следующем шаге последняя искусственная переменная x6 становится свободной и решение вспомогательной задачи на этом заканчивается. Для получения двойственных оценок оптимального плана можно продолжить вычисления, сохранив столбцы, отвечающие искусственным переменным, но исключив их из числа разрешающих столбцов. Индексную строку для искусственной целевой функции можно удалить. Следующая таблица принимает вид:

									Таблица 4
Б	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	B	bi / aij
x3	0	1/ 5	1	0	1/15	3 / 25	4 / 75	1/15	3
x1	1	1/ 5	0	0	4 /15	1/ 5	1/15	1/15	9	135 / 4
x4	0	3 / 5	0	1	1 / 5	3 / 25	2 / 25	0	3	15
f	0	1/ 5	0	0	11 / 15	2 / 5	4 /15	1/15	18

Разрешающий столбец ‒ пятый, а разрешающая строка ‒ третья. Переходим к следующей таблице.

									Таблица 5
Б	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	B	bi / aij
x3	0	0	1	1/ 3	0	4 / 25	2 / 75	1/15	4
x1	1	1	0	4 / 3	0	1/ 25	13 / 75	1/15	5
x5	0	3	0	5	1	3 / 5	2 / 5	0	15
f	0	2	0	11/ 3	0	21/ 25	2 / 75	1/15	29

Все оценки переменных, исключая искусственные, неотрицательные, по-

лучен оптимальный план X Opt (5;0; 4;0;15) и оптимальное значение целевой функции f Opt 29 .

Двойственные оценки оптимального плана задачи в канонической форме равны оценкам искусственных переменных.

В данном примере	y*	6	21 25	,	y*	7	2 75	,	y*	8	1 15	.
	1				2				3

Существует еще один способ вычисления двойственных оценок оптимального плана такой задачи. Анализ таблицы 3 показывает, что все искусственные переменные на следующем шаге становятся свободными. Можно продолжить вычисления, исключив последнюю индексную строку и столбцы, соответствующие искусственным переменным. В результате получаем следую-

щие таблицы:
						Таблица 4-1								Таблица 5-1
	Б	x1	x2	x3	x4	x5	B	bi / aij	Б	x1	x2	x3	x4	x5	B	bi / aij
	x3	0	1/ 5	1	0	1/15	3		x3	0	0	1	1/ 3	0	4
	x1	1	1/ 5	0	0	4 /15	9	135 / 4	x1	1	1	0	4 / 3	0	5
	x4	0	3 / 5	0	1	1 / 5	3	15	x5	0	3	0	5	1	15
	f	0	1/ 5	0	0	11 / 15	18		f	0	2	0	11/ 3	0	29

		Из таблицы 5-1 видно, что оптимальный базис образован третьим, пер-
вым и пятым столбцами матрицы системы ограничений. Пусть S															‒ матрица,
столбцами которой являются базисные столбцы, CБ												‒ вектор из коэффициен-

тов целевой функции при базисных переменных (в соответствующем порядке). Вектор Y * , составленный из двойственных оценок оптимального плана, являет-

ся решением уравнения ST Y CБ	(буква T означает операцию транспониро-
вания). В данном случае
	2 1	1		c	1
S A3 A1 A5	3 3 1		C Б	c3	2
	9 6	2		1	1
	9 6	2	,	c5	1	,
			,			,

и уравнение для двойственных оценок имеет вид:

2 1 1	T	y	2	3	9	y	1
		1				1
3 3 1		y2	1	3	6	y2	2
9 6 2		y3	1	1 2		y3	1

Решив это уравнение, получаем двойственные оценки оптимального пла-

на:	y*	21 25	,	y*	2 75	,	y*	1 15	.
на:	1		,	2		,	3		.

Для вычисления двойственных оценок методом M - задачи также можно продолжить вычисления, сохраняя столбцы с искусственными переменными и исключая соответствующие им оценки из признака оптимальности. Полагая в

оценках искусственных переменных	оптимального	плана	M 0 ,	получим
двойственные оценки. Для облегчения расчетов удобнее приравнять				M 0 в
тот момент, когда искусственные переменные становятся свободными.
Используя метод M - задачи, преобразуем вспомогательную целевую
функцию
f (X , X ) 2x1 x2 x3	x4 x5 M x6	M x7	M x8

к приведенному виду

f (X,X ) (2 11M )x1 (1 5M )x2 (1 4M )x3 (1 6M )x4 (1 2M )x5 69M

и составим первую симплекс-таблицу.

Таблица 1M

Б	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7	x8	B	bi / aij
x6	2	1	2	3	1	1	0	0	33	33 / 2
x7	3	6	3	8	1	0	1	0	12	4
x8	6	0	9	1	2	0	0	1	24	4
f	2 11M	1 5M	1 4M	1 6M	1 2M	0	0	0	69M

Единственный разрешающий столбец ‒ первый, а разрешающей строкой может быть как вторая, так и третья строка. Выбрав в качестве разрешающей третью строку, переходим к следующей таблице.

Таблица 2M

	Б	x1	x2					x3				x4				x5			x6		x7				x8		B		bi / aij

	x6	0	1				5			10 / 3				1/ 3				1			0		1/ 3			25

	x7	0	6		15 / 2					15 / 2						2		0			1		1/ 2			0		0

	x1	1	0				3 / 2			1/ 6				1/ 3				0			0		1/ 6			4

	f	0	1 5M		8 25M						4 25M				1 5M			0			0	2 11M				8 25M
	f	0	1 5M				2			6				3				0			0					8 25M
							2			6				3									6
		Разрешающий столбец ‒ второй, разрешающая строка ‒ вторая. Перехо-
дим к следующей таблице.
																											Таблица 3M
	Б	x1		x2		x3					x4				x5		x6				x7				x8		B		bi / aij
	x6	0	5			0			25 / 3				5 / 3				1		2 / 3					0			25		3

	x3	0	4 / 5			1			1				4 /15				0		2 /15					1/15			0
	x1	1	6 / 5			0			5 / 3				1/15				0		1/ 5					1/15			4

	f	0	11 25M			0		10 25M				21 25M					0			24 75M				1 15M			8 25M
	f	0	5			0			3				15				0			45					15		8 25M
			5						3				15							45					15

В этой таблице разрешающим столбцом является ‒ третий, а разрешающей строкой ‒ первая. Переходим к следующей таблице.

										Таблица 4M
Б	x1	x2	x3	x4	x5	x6	x7		x8		B	bi / aij
x4	0	3 / 5	0	1	1/ 5	3 / 25	2 / 25	0			3
x3	0	1/ 5	1	0	1/ 15	3 / 25	4 / 75	1/ 15			3

x1	1	1/ 5	0	0	4 / 15	1 / 5	1/ 15	1/ 15			9

f	0	1/5	0	0	11 15	2 5M	4 15M	1 15M			18
f	0	1/5	0	0	11 15	5	15		15		18
						5	15		15

Так как все искусственные переменные стали свободными, то, полагая M 0 , получим новую таблицу.

Таблица 4M-1

bi / aij

3 / 5

1 / 5

3 / 25

2 / 25

1/ 5

1/15

3 / 25

4 / 75

1/15

1/ 5

4 /15

1/ 5

1/15

1 /15

1/5

11/5

2 / 5

4/15

1/15

Здесь разрешающий столбец ‒ пятый, а разрешающая строка ‒ первая.

Переходим к следующей таблице.

Таблица 5M

bi / aij

1/ 3

4 / 25

2 / 75

1/15

4 / 3

1/ 25

13 / 75

1/15

3 / 5

2 / 5

11/ 3

21/ 25

2 / 75

1/15

Все оценки переменных, исключая искусственные, неотрицательные. Та-

ким образом, получены: решение задачи ЛП X Opt			(5;0; 4;0;15) ,					f Opt	29 и
двойственные оценки оптимального плана	y*	21 25		,	y*	2 75	,	y*	1 15	.
	1				2			3

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке методы оптимальных решений

#
13.05.20152.24 Mб38404921108.pdf
#
13.05.2015237.09 Кб35or_part1.pdf
#
13.05.201537.38 Кб27ГЛОССАРИЙ.doc
#
13.05.2015257.14 Кб16За 112 дней правления второй министр внутренних дел СССР предложил реформы, на которые у Горбачева ушло шесть лет.htm
#
13.05.201534.3 Кб21Классификация экономических моделей.doc
#
13.05.201572.01 Кб16Линейное программирование. Теория.htm