методы оптимальных решений / 404921108

Все компоненты полученного вектора положительные, следовательно, план

ссамого начала.

6.13.Выпишем еще раз первую и последнюю симплекс-таблицы рассматриваемой задачи:

Четвертый, второй и шестой столбцы матрицы ограничений в первой таблице образуют единичную матрицу E . Оценки соответствующих этим столбцам переменных в последней таблице называются двойственными оценками оптимального базисного плана задачи ЛП в канонической базисной форме. Название связано с так называемой двойственной задачей ЛП, оптимальное решение которой совпадает с этими оценками. Двойственные оценки имеют специ-

альное обозначение yi* , причем номер двойственной оценки совпадает с номером ограничения в первой симплексной таблице.

32

Из первой таблицы видно, что двойственные оценки образованы оценка-

6.14. Двойственные оценки обладают следующими важными свойствами.

Двойственные оценки задачи ЛП в канонической базисной форме неотрицательные.

Утверждение является следствием условия оптимальности базисного плана.

Сумма произведений двойственных оценок и правых частей системы ограничений исходной задачи равна оптимальному значению целевой

изменении правой части ограничения с номером i на единицу оптималь-

ное значение целевой функции изменится на величину двойственной оцен-

для производства единицы продукции, запасы сырья и прибыль от реализации единицы продукции приведены в следующей таблице.

Требуется составить план производства, при выполнении которого прибыль от реализации произведенной продукции будет наибольшей.

Математическая модель этой задачи имеет следующий вид:

x1 0, x2 0, x3 0.

С помощью дополнительных (балансовых) переменных x4 , x5 , x6 , x7 преобразуем стандартную задачу к канонической базисной форме:

34

Здесь дополнительные переменные x4 , x5 , x6 , x7 играют роль базисных переменных, целевая функция имеет приведенный вид. Составляем первую симплексную таблицу.

36

Максимальная прибыль от реализации возникнет при производстве пяти единиц первой, восьми – второй и шести единиц третьей продукции и составит 290 условных единиц.

7.2. В оптимальном плане преобразованной задачи дополнительные пе-

ременные x4 x5 x7 0 . Следовательно, на оптимальном плане исходной задачи первое, второе и четвертое ограничения выполняются как равенства. Дополнительная переменная x6 = 4 – положительная. На оптимальном плане третье ограничение исходной задачи выполняется как строгое неравенство.

При выполнении оптимального плана ресурсы (запасы) первого, второго и четвертого сырья расходуются полностью. Такие ресурсы называются дефицитными. Третий ресурс оказывается недефицитным, так как после выполнения оптимального плана останется его запас в количестве x6 = 4 единиц.

тимальном плане преобразованной задачи дополнительная переменная x6 4 – базисная и ее оценка (третья двойственная оценка) равна нулю. При этом третий ресурс является недефицитным.

В оптимальном плане недефицитным ресурсам отвечают нулевые двойственные оценки. Положительным двойственным оценкам отвечают дефицитные ресурсы.

Отметим, что дефицитному ресурсу может отвечать нулевая двойствен-

ная оценка. В рассматриваемом примере двойственные оценки y1* , y2* , y4* , отвечающие дефицитным ресурсам, оказались положительными. Это обстоятельство позволяет рассматривать двойственные оценки как некоторую ценность ресурсов, используемых в производстве. При этом ценность недефицитных ресурсов нулевая – они и так имеются в избыточном количестве.

8.Метод искусственного базиса

8.1.С помощью симплекс-метода задача ЛП в канонической форме может быть преобразована к канонической базисной форме. Потребность в таком преобразовании возникает, в частности, при переходе от задачи в стандартной форме к канонической форме, если среди правых частей системы ограничений имеются отрицательные значения.

Для примера рассмотрим задачу (I) в стандартной форме:

38

Она содержит единичную матрицу E = (A8 A6 A9) и неотрицательный вектор правых частей. Базис {A8 A6 A9}, построенный с помощью искусственных переменных x8 и x9, называется искусственным базисом. Полученная система ограничений соответствует канонической базисной форме.

8.2. В отличие от балансовых переменных, которые вводятся в целевую функцию с нулевыми коэффициентами, использование искусственных переменных (искусственного базиса) предполагает построение вспомогательной це-

левой функции f ( X ) и решение вспомогательной задачи f (X ) Max для построенной системы ограничений. В результате решения вспомогательной задачи либо возникает первый опорный план канонической задачи (II), либо выясняется, что исходная задача не имеет ни одного опорного плана.

Существует два способа построения вспомогательной целевой функции. В методе искусственной целевой функции вспомогательная целевая функция

имеет вид f (X , X ) xk1 xk2 ... xkp , где ( X , X ) ‒ план вспомогательной задачи, в котором X (x1, x2 ,..., xn ) ‒ переменные исходной канонической за-

дачи, а X (xk1 ,..., xk p ) ‒ искусственные переменные. В данном примере

точно большое положительное число (значительно превосходящее модули всех чисел задачи). Вспомогательная задача с такой целевой функцией обычно называется M-задачей.

И в первом, и во втором случае целевая функция выражается через свободные переменные, в результате вспомогательная задача принимает каноническую базисную форму. Отметим, что все искусственные переменные на первом шаге входят в число базисных переменных. Вспомогательные задачи решаются симплекс-методом. Возможны три случая.

Если в процессе решения вспомогательной задачи возникает базисный план, в котором все искусственные переменные становятся свободными, то исходная задача принимает каноническую базисную форму, и решение вспомогательной задачи можно не продолжать.

Если вспомогательная задача имеет оптимальный план, в котором хотя бы одна искусственная переменная больше нуля, то исходная задача не имеет решения из-за несовместности системы ограничений.

Если M-задача не имеет решения из-за неограниченности вспомогатель-

ной целевой функции на множестве допустимых планов, то и исходная задача не имеет решения или из-за неограниченности исходной целевой функции на множестве допустимых планов, или из-за несовместности системы ограничений.

8.3. Пример построения канонической базисной формы методом искусственной функции. После введения балансовых и искусственных переменных задача (I) из 8.1 принимает вид:

Получаем вспомогательную задачу в канонической базисной форме:

8.4. Симплексная таблица для вспомогательной задачи дополняется еще одной индексной строкой – для исходной целевой функции. Этот прием позволяет автоматически получать значения исходной целевой функции в процессе решения вспомогательной задачи.

Таблица 1

Оценки вспомогательной задачи находятся в последней строке. Первый базисный план X 1 (0,0,0,0,0,3,0,7, 2) невырожденный и неоптимальный, так

как оценка 1 4 0 . Разрешающий столбец – первый, разрешающая строка – третья. Искусственная базисная переменная х9 в следующей таблице становится свободной, поэтому элементы девятого столбца можно не вычислять. Индексная (предпоследняя) строка исходной задачи преобразуется при переходе к следующему базисному плану по стандартному правилу. При этом происходит пересчет целевой функции исходной задачи. Получаем следующую симплексную таблицу.

Таблица 2

элементов для второго и четвертого столбца показывает, что в любом случае