методы оптимальных решений / 404921108

21

( 2;1) . В направлении этого вектора целевая функция возрастает.

Шаг 3. Имеется единственное опорное положение линии уровня – прямая L1. На рисунке проведена еще одна линия уровня – прямая L*. Видно, что при смещении вправо линия уровня никогда не станет опорной.

Рассматриваем задачу на максимум.

Шаг 4. Нужное положение опорной линии уровня – прямая L1. На этой прямой целевая функция принимает самое большое значение.

Шаг 5. Наибольшее значение целевой функции достигается в вершине A, решение единственное.

В этом примере имеется особенность, а именно, в точке A пересекаются три граничные прямые с номерами (1), (2) и (4). Для вычисления координат опорного плана можно взять любые две прямые из этих трех. Поэтому существуют три системы уравнений для определения координат точки A.

Теперь рассмотрим задачу на минимум.

Шаг 4. Перемещая параллельно линию уровня в направлении, противоположном направлению градиента целевой функции, приходим к выводу, что в рассматриваемой области целевая функция неограниченно убывает.

Ответ задачи на минимум: решения нет.

5.4. Графический метод можно использовать при решении некоторых задач ЛП с числом переменных больше двух, если система ограничений задачи содержит уравнения. Рассмотрим эту ситуацию на конкретных примерах.

Пример 1. Решить задачу ЛП:

Подставив найденные выражения для переменных x4, x3, x5 в целевую

функцию и в неравенства x3 0, x4 0, x5 0 , получим новую задачу ЛП с двумя переменными:

6.1. Табличный симплекс-метод применяется для решения задач ЛП в канонической базисной форме. Для таких задач выполняются следующие условия:

1.Все переменные x1, x2 ,..., xn неотрицательные.

3.Правые части ограничений b1 ,b2 ,...,bm неотрицательные.

4.Среди столбцов матрицы ограничений можно выбрать m столбцов, образующих единичную матрицу. Выбранные столбцы и соответствующие им переменные считаются базисными.

5.Целевая функция f (X ) содержит только небазисные (свободные) переменные.

6. Рассматривается задача на максимум: f (X ) Max . Алгоритм решения состоит из нескольких шагов.

Шаг 1. Составление и анализ (первой) симплексной таблицы. Данные задачи заносятся в первую симплекс-таблицу. Рассматриваемый вариант сим- плекс-таблицы имеет вид расширенной матрицы системы ограничений, дополненной так называемой индексной строкой, в которой записываются коэффициенты (с противоположными знаками) и значение целевой функции.

24

6.2. Пример заполнения первой симплексной таблицы. Рассмотрим задачу

Расширенная матрица системы ограничений имеет следующий вид:

Столбцы матрицы с номерами 4, 2 и 6 (именно в этом порядке) образуют еди-

Договоримся первой строкой и первым столбцом симплекс-таблицы называть первую строку и столбец расширенной матрицы. Самую верхнюю строку и крайний левый столбец таблицы называем нулевой строкой и нулевым столбцом, или строкой и столбцом обозначений. В частности, номер столбца всегда будет совпадать с номером переменной, а третья строка рассматривае-

мой здесь таблицы начинается с x6 . В столбце обозначений, озаглавленном буквой Б (от слова Базис), перечислены базисные переменные.

Сформулируем правило заполнения индексной строки.

Индексная строка начинается с краткого обозначения целевой функции

(в данном случае – буква f ), далее записываются коэффициенты при переменных целевой функции с противоположным знаком и ноль в столбце B .

На практике удобно переписать выражение для целевой функцией следующим образом:

.

Коэффициенты полученного равенства помещаются в индексную строку.

25

6.3. Анализ полученной симплексной таблицы. Для получения первого базисного плана полагаем свободные переменные равными нулю. Система ограничений принимает вид

Из этой системы немедленно получаем значения базисных переменных.

В симплекс-таблице значения базисных переменных расположены в столбце, озаглавленном буквой B .

В результате имеем первый базисный план X 1 (0;1;0; 2;0; 0) . Этот план оказался вырожденным, так как значение базисной переменной x6 0 . Значе-

ние целевой функции f ( X 1 ) 2 0 3 0 4 0 0 . Это число находится в последней ячейке столбца B .

Числа, стоящие в индексной строке (исключая последнее), называются оценками (переменных) базисного плана. При этом все оценки базисных переменных в симплекс-таблице равны нулю (целевая функция выражается только через свободные переменные). Обозначим оценки базисного плана символом

j , здесь j – номер переменной. В типичной задаче ЛП имеются ненулевые оценки первого базисного плана. Оценки базисного плана позволяют делать вывод об оптимальности полученного базисного плана. Сформулируем достаточный признак оптимальности базисного плана

Если все оценки базисного плана неотрицательные, то базисный план является оптимальным.

Для невырожденного базисного плана наличие отрицательной оценки означает неоптимальность совпадающего с ним опорного плана. Вырожденный базисный план, имеющий отрицательную оценку, может оказаться оптимальным опорным планом.

Наличие отрицательной оценки требует продолжения исследования.

В рассматриваемом случае 1 2 и 5 4 . Следовательно, возникает вопрос о возможности построения нового базисного плана, значение целевой функции на котором не меньше, чем на имеющемся плане. Обычно говорят о возможности улучшения базисного плана.

6.4. Следующее утверждение позволяет установить неограниченность

множества допустимых планов

Если среди столбцов, соответствующих свободным переменным базисного плана, имеется столбец с неположительными элементами, то множество допустимых планов является неограниченным.

26

На неограниченной области допустимых планов целевая функция может неограниченно возрастать. В этом случае рассматриваемая задача ЛП не имеет решения. Сформулируем признак отсутствия решения задачи ЛП из-за неограниченного возрастания целевой функции на множестве допустимых планов.

Если среди столбцов, отвечающих отрицательным оценкам свободных переменных базисного плана, имеется столбец с неположительными элементами, то задача ЛП не имеет решения из-за неограниченного возрастания целевой функции на множестве допустимых планов.

Вданном примере таких столбцов с неположительными элементами нет,

иполученный план можно пытаться улучшить.

6.5. Шаг 2 – улучшение базисного плана. Любую из свободных переменных с отрицательной оценкой можно сделать базисной переменной. Применительно к столбцам таблицы говорят о переводе соответствующего столбца в базис Традиционно выбирают столбец, отвечающий свободной переменной с наибольшей по модулю отрицательной оценкой. Если таких переменных несколько, то рекомендуется выбирать первый столбец слева. Выбираемый столбец называется разрешающим (ведущим или ключевым) столбцом, а описанная процедура называется выбором разрешающего столбца.

Выбор разрешающего столбца обеспечивает переход к новому базисному плану, на котором значение целевой функции должно увеличиться (или остаться без изменения). Сформулируем правило выбора разрешающего столбца.

В качестве разрешающего столбца обычно выбирается столбец, отвечающий свободной переменной с наибольшей по модулю отрицательной оценкой. Если таких столбцов несколько, то из них обычно выбирается первый столбец слева.

В рассматриваемом примере в качестве разрешающего столбца выбираем

столбец с номером 5 . Это означает, что в следующей таблице переменная x5 станет базисной. В таблице 1 разрешающий столбец выделен цветом.

6.6. Приступаем к выбору базисной переменной, которая в следующей таблице станет свободной. С этой целью рассматриваем отношения bi / aij , где bi 0 – правая часть ограничения с номером i (последний элемент строки с номером i ), а aij – соответствующий элемент разрешающего столбца. Отноше-

положительный). В таблице эти отношения можно разместить в дополнительном столбце справа. Выбирается строка, для которой это отношение наименьшее. Выбранная строка также называется разрешающей строкой. Если строк с

27

наименьшим отношением несколько, то рекомендуется выбирать первую сверху (или снизу) строку. Сформулируем правило выбора разрешающей строки.

В качестве разрешающей строки выбирается строка с наименьшим отно-

шением bi / aij , где aij 0. Если таких строк несколько, то рекомендуется

выбирать первую строку сверху.

Правильный выбор разрешающей строки обеспечивает неотрицательность значений новых базисных переменных и, следовательно, допустимость нового базисного плана.

В рассматриваемом примере имеется единственное положительное отношение b1 / a15 2 , поэтому разрешающей является строка с номером 1. В сле-

дующей симплекс-таблице переменная x4 станет свободной. В таблице 1 разрешающая строка выделена цветом. Первая симплексная таблица принимает следующий вид:

На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки находится разрешающий (ведущий, ключевой) элемент. В данной таблице он равен 1 (выделен жирным шрифтом).

После выбора разрешающего элемента можно ответить на вопрос о величине изменения целевой функции при переходе к новому базисному плану.

Если в разрешающей строке bi 0 , то при переходе к новому базисному плану значение целевой функции увеличится на j (bi aij ) . Если

bi 0 , то при переходе к новому базисному плану значение целевой функции не изменится.

В рассматриваемом примере приращение целевой функции будет равно

5 (b1 / a15 ) ( 4) 2 8 .

Если в таблице имеется несколько отрицательных оценок, то представляется разумным выбрать в качестве разрешающего тот столбец, для которого приращение целевой функции будет наибольшим. Выбор столбца с наибольшей по модулю отрицательной оценкой лишь частично соответствует этому принципу. В редких (специально подобранных) случаях может возникать так называемое зацикливание – ситуация, когда после нескольких шагов происходит возврат к предыдущему плану. Зацикливания можно избежать, если всегда вы-

28

бирать первый «подходящий» (с отрицательной оценкой) столбец слева и первую «подходящую» (с минимальным отношением) строку сверху. Однако при этом может увеличиться количество шагов.

6.7. После того как выбрана разрешающая строка, переход к новому базисному плану состоит в последовательном исключении выбранной свободной переменной из остальных уравнений системы ограничений и индексной строки. В табличной реализации симплекс-метода с этой целью используется стандартный метод Гаусса (метод элементарных преобразований). Если разрешающий элемент не равен единице, то предварительно разрешающая строка почленно делится на разрешающий элемент. После исключения в таблице возникает новый единичный столбец, а в индексной строке ‒ оценки нового плана.

Проделав указанные вычисления, получаем вторую таблицу:

6.8. Повторяем первый шаг. Анализ полученной симплекс-таблицы при-

плане становится свободной. При этом значение целевой функции возрастет на

30

столбцы матрицы ограничений первой таблицы образуют оптимальный базис. Обозначим буквой S матрицу, образованную базисными столбцами. В данном случае

разованный из базисных переменных оптимального плана. Порядок компонент

Матрицу Q можно найти в последней симплексной таблице. Четвертый, второй и шестой столбцы матрицы ограничений первой симплексной таблицы образуют единичную матрицу. Матрица, образованная такими же столбцами в

Рассмотрим новую задачу, которая отличается от исходной только вектором правых частей системы ограничений. Пусть B – новый вектор. В следующей си-

туации матрица Q позволяет сразу найти оптимальное решение новой задачи.

Если выполняется условие Q B 0 , то план, в котором базисные пере-

менные определяются формулой X BOpt Q B , является оптимальным планом измененной задачи.

Другими словами, если полученный в процессе решения оптимальный базис остается допустимым при изменении правых частей системы ограничений, то он остается оптимальным базисом.

Пример. Рассмотрим новую задачу, отличающуюся от задачи из пункта 6.2 только вектором правых частей ограничений: