ТВ заочное 6-4
.pdf
Правила сложения и умножения вероятностей
1. Сложение вероятностей.
• Правило сложения вероятностей совместных событий
Для любых событий А и В
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ), где
Р(А+В) – вероятность появления хотя бы одного из двух событий,
Р(АВ) – вероятность совместного появления двух событий.
• Правило сложения вероятностей несовместных событий
Р(А+В)=Р(А)+Р(В).
События А и В называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого события, т.е.
PA (B) = P(B) и PB(A)=P(A),
где - условная вероятность наступления события В, если событие А уже наступило.
2. Умножение вероятностей
• Правило умножения вероятностей зависимых событий
Для любых событий А и В
P AB P A P |
B P B P |
A |
A |
B |
, где |
- условная вероятность наступления события В, если событие А уже наступило,
- условная вероятность наступления события А, если событие В уже наступило.
• Правило умножения вероятностей независимых
событий |
P AB P A P B |
|
Пример. Экзаменационный билет содержит 3 вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос, равна 0,9; на второй – 0,7; на третий – 0,8. Найти вероятность того, что студент ответит:
а) только на один вопрос; б) на все вопросы; в) хотя бы на один вопрос;
г) по крайней мере на два вопроса; д) на два вопроса.
Решение:
• Пусть событие 1 = {студент ответил на первый вопрос},1= {студент не ответил на первый вопрос},2 ={ студент ответил на второй вопрос },2={ студент не ответил на второй вопрос },3 ={ студент ответил на третий вопрос },
3={ студент не ответил на третий вопрос }. |
|
|
||||||||
События 1 |
и 1 |
– противоположные, поэтому 1 |
+ P 1 |
|||||||
P A 1 P A |
1 0,9 0,1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P A |
1 P A |
1 0,7 0,3 |
|
|
|
|
|
|
Аналогично |
|
и P A3 |
1 P A3 1 0,8 |
|||||||
|
2 |
|
2 |
|
||||||
=1,
0,2 .
а) Событие ={студент ответил только на один вопрос}. Появление события А означает, что наступило одно из трёх
несовместных событий: либо 1 2 3, либо 1 2 3, либо
1 2 3.
По правилу сложения вероятностей
P A P A1 A2 A3 P A1 A2 A3 P A1 А2 A3
События 1, 2, 3 - независимые, следовательно, независимы и события 1, 2, 3.
По правилу умножения вероятностей для независимых событий
|
P A |
A A |
P A |
P A |
P A |
0,9 0,3 0,2 0,054 |
||||||
|
|
|
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
|
|||
Аналогично |
|
|
|
|
||||||||
P A A A P A P A P A |
0,1 0,7 0,2 0,014 |
|||||||||||
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
3 |
||||||
P |
|
|
|
|
A3 P |
A1 P |
A2 P A3 0,1 0,3 0,8 0,024 |
|||||
A1 A2 |
||||||||||||
Тогда |
P A 0,054 0,014 0,024 0,092 |
|||||||||||
б) Событие ={студент ответил на все вопросы}. Наступление события означает, что одновременно
появились т. е. P B
независимые события 1, 2, 3 ,
P A1 A2 |
A3. |
По правилу умножения вероятностей для независимых событий
P A A A |
P A |
P A |
P A 0,9 0,7 0,8 0,504 |
||
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
P B 0,504 |
|
|
|||
в) Событие ={ студент ответил хотя бы на один вопрос }.
Это означает, что был дан ответ на любой один вопрос, или на любые два вопроса, или на все три вопроса.
Событие = {студент не ответил ни на один вопрос}.
События и противоположны, поэтому = 1 − .
Событие означает, что одновременно появились независимые события 1, 2, 3, т. е. = 1 ∙ 2 ∙ 3 .
По правилу умножения вероятностей для независимых событий
1 ∙ 2 ∙ 3 = P 1 2 3 = 0,1 ∙ 0,3 ∙ 0,2 = 0,006.
Итак, = 1 − 0,006 = 0,994.
г) Событие ={студент ответил по крайней мере на два
вопроса}.
Это означает, что дан ответ на любые два вопроса или на все три вопроса. Появление события означает, что наступило одно из четырёх несовместных событий: либо 1 2 3, либо
1 2 3, либо 1 2 3, либо 1 2 3.
По правилу сложения вероятностей несовместных событий
= 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3 + 1 2 3 .
События 1, 2 , 3 - независимые, следовательно, независимы события 1, 2 , 3 .
По правилу умножения вероятностей независимых событий
1 2 3 |
= 1 |
2 |
3 |
= 0,9 ∙ 0,7 ∙ 0,2 = 0,126. |
|
Аналогично получаем |
|
|
|
||
1 2 3 |
= 1 |
3 |
2 |
= 0,9 ∙ 0,8 ∙ 0,3 = 0,216 , |
|
1 2 3 |
= 1 |
2 |
3 |
= 0,1 ∙ 0,7 ∙ 0,8 = 0,056, |
|
1 2 3 |
= 1 |
2 |
3 |
= 0,9 ∙ 0,7 ∙ 0,8 = 0,504. |
|
Итак |
= 0,126 + 0,216 + 0,056 + 0,504 = 0,902. |
|
|||
|
|||||
|
|
|
|
|
|
д) Событие ={ студент ответил на два вопроса }. Появление события означает, что наступило одно из трёх
несовместных событий: либо 1 2 3, либо 1 2 3, либо
1 2 3.
Далее, используя решение задачи г), имеем
= 0,126 + 0,216 + 0,056 = 0,398.
Формула полной вероятности
Пусть событие А может наступить лишь при появлении одного из множества попарно несовместных событий H1, H 2 , …, H n,образующих полную группу событий.
Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности
P A P H |
P |
A P H |
|
P |
|
A ... P H |
|
P |
A |
n |
P H |
P |
A |
2 |
|
n |
|
||||||||||
1 |
H |
|
H |
2 |
|
H |
n |
i |
H |
i |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
События H1, H 2 , …, H n называются гипотезами по отношению к событию А.
Формулы Бейеса
Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез
(априорные вероятности) могут быть переоценены (апостериорные вероятности) по формулам Бейеса
|
H |
|
P H |
P |
|
A |
|
P H |
P |
|
A |
i 1,2,...n . |
|||
P |
i |
H |
i |
|
|
|
i |
|
H |
i |
|
|
|||
|
|
|
P A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
i |
|
|
|
|
n |
P H |
P |
|
A |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
H |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|