Лекция №3.

Решение КТЗ методом потенциалов.

Метод потенциалов является модификацией метода последовательного улучшения плана в ЗЛП. Решение задачи включает в себя следующие этапы:

1. Построение начального опорного плана.

2. Проверка опорного плана на оптимальность.

3. Переход в случае необходимости к лучшему опорному плану.

Сначала исходные данные записываются в распределительную таблицу, которая имеет следующий вид:

		v1	…	vj	…	vn
	Аi Bj	B1	…	Bj	…	Bn	ai
u1	A1	C11		C1j		C1n	a1
…	…					…	…
ui	Ai	Ci1		Cij		Cin	ai
…	…					…	…
um	Am	Cm1		Cmj		Cmn	am
	bj	b1	…	bj	…	bn

Затем необходимо построить начальный опорный план.

1.Построение начального опорного плана.

Всего существует три метода отыскания начального ОП:

1. Метод северо-западного угла,

2. Метод минимального элемента,

3. Метод Фогеля.

Рассмотрим 2 первых метода.

Метод северо-западного угла.

Построение нач. ОП начинается с левой верхней клетки, которая заполняется элементом . Для этого между пунктами А₁ и В₁ назначается максимально возможный объем перевозки, определяемый как . При этом возможны три случая:

а) . При этом , а все остальные перевозки из пункта производства А₁ . Это означает, что из пункта А₁ вывозится вся произведенная продукция в пункт потребления В₁, поэтому объем перевозок из А₁ другие пункты потребления равен 0 (нули в таблицу не записываются). Т.К. Из А₁ больше вывозить нечего, то первая строка таблицы вычеркивается, а потребность пункта В₁ уменьшается на величину , т.е. .

б) . При этом , а . Ресурс в А₁ уменьшается на величину , т.е. , а столбец В₁ вычеркивается, т.к. потребность пункта В₁ полностью удовлетворена.

в) . Тогда . В этом случае вычеркивается либо строка, либо столбец (но не оба сразу!). В этом случае опорный план будет являться вырожденным, и чтобы найти нулевые базисные переменные либо строка, либо столбец в таблице остаются. Если вычеркивается строка, то считаем, что в пункте потребления В₁ остается потребность, равная 0, которая в дальнейшем д.б. удовлетворена. Если же вычеркиваем столбец, то считаем, что в пункте производства А₁ остался запас, равный 0, который в дальнейшем д.б. вывезен.

В таблицу заносятся нулевые базисные переменные, но небазисные нули не заносятся, чтобы не спутать их с нулевыми базисными переменными.

Пусть теперь назначен, и один ряд таблицы (строка или столбец) вычеркнуты (закрыты). В оставшейся части таблицы вновь берем левую верхнюю клетку и в ней назначаем максимально возможный объем перевозки с учетом ранее назначенных. В результате закрывается еще один ряд. После назначения в (n+m-1) клетках объемов перевозок получится некоторый опорный план перевозок. В заполненных клетках будут записаны базисные переменные, а переменные в незаполненных клетках будут соответствовать небазисным, которые равны 0 и не записываются, чтобы не спутать с базисными нулями вырожденного опорного плана.

Метод минимального элемента.

В отличие от метода северо-западного угла, этот метод позволяет построить начальный опорный план, более близкий к оптимальному. Суть метода заключается в том, что в распределительной таблице находится клетка () с наименьшей стоимостью перевозки . В эту клетку назначается максимально возможный объем перевозок и эта величина записывается в клетку (). При этом возможны три случая, описанные в методе сев-зап угла. В результате закрывается один ряд . В ставшейся части таблицы вновь находится клетка с минимальной стоимостью перевозок, назначаем максимально возможный объем перевозки и т.д. Через (n+m-1) шагов получается опорный план. Базисные переменные (включая нулевые) будут записаны в клетках, а небазисные равны 0 и не записаны.