III. Игры с ненулевой суммой

Тема 3. Понятие точек равновесия

Игроки могут выигрывать и проигрывать одновременно. Интересы игроков не являются полностью противоположными, и их поведение становится более разнообразным.

Ситуация характерная для рыночных отношений.

В игре с ненулевой суммой становится желательным координировать свои действия с партнером (кооперативная игра) либо каким-то образом влиять на его действия (некооперативная игра).

В случае некооперативных игр важным является определение точек равновесия игры.

Понятие равновесия в ТИ шире понятия оптимизации и включает последнее в качестве частного случая.

Точка равновесия по Нэшу

Пара стратегий и для игроков I и II называется точкой равновесия по Нэшу, если обоим игрокам невыгодно отклоняться от своей стратегии в одиночку. Это значит, что

Здесь – выигрыш игрока I, – выигрыш игрока II при соответствующих стратегиях.

Пример 6. Определить точку равновесия для игры с биматрицей выигрышей .

В этой игре игроку I невыгодно отклонятся от 1-й стратегии, если игрок II придерживается своей 1-й стратегии. В то же время игроку II в одиночку невыгодно отклоняться от 1-й стратегии, если ее придерживается игрок I. Аналогичная ситуация будет, если оба игрока придерживались своих 2-ых стратегий.

Значит в этой игре две точки равновесия по Нэшу: (1, 1) и (2, 2).

В ТИ доказано, что для любой конечной некооперативной игры с ненулевой суммой всегда существует, по крайней мере, одна равновесная пара смешанных стратегий; в общем случае равновесное решение может быть неединственным, причем каждому из них могут соответствовать разные значения выигрышей у игроков.

IV. Игры с природой

Тема 4. Игры с природой

Задачи, содержащие неопределенность и не имеющие конфликтного содержания (например, планирование спроса на сезонные товары).Это нестратегические игры. У противника нет стратегий, а поэтому невозможно предугадывать ходы противника исходя из предположения, что тот поступает наиболее неблагоприятным способом для нас.

У противника есть только предполагаемые состояния, которые можно назвать «стратегиями природы»: . Природа – игрок, не имеющий конкретной цели и выбирающий очередной ход случайным образом.

Матрица выигрышей не является определяющей при выборе оптимального решения, она не дает полной информации. При решении «игр с природой» вводят понятие риска, который показывает, насколько удачно выбрана данная стратегия в данной ситуации.

Риском игрока при использовании стратегии при состоянии природы называется

Можно составить матрицу рисков с элементами .

1. Стохастическая задача Критерий Байеса (Лапласа).

Вероятности состояний «природы» известны или могут быть определены.

Выбирается стратегия игрока против природы, которая максимизирует математическое ожидание его выигрыша.

- математическое ожидание выигрыша при использовании -й стратегии,

- искомая оптимальная стратегия игрока,

- элементы матрицы выигрышей,

- вероятности состояний «природы».

Оптимальная в смысле максимума выигрыша стратегия дает минимальный средний риск, т.е. на ней достигается

Если вероятности состояний природы в принципе существуют, но заранее неизвестны, то

1. полагают все состояния равновероятными (принцип недостаточного основания Лапласа);

2. получают искомые вероятности методом экспертных оценок;

3. корректируют неточные значения вероятностей с помощью специальных экспериментов.

Пример 7. При различных состояниях экономики, предприятие, обладающее определенными возможными стратегиями планирования выпуска продукции, может получить различный доход, который задан матрицей выигрышей

11	15	9	6
13	4	14	7
10	10	10	10
9	11	15	13
8	3

Составить матрицу рисков предприятия. Определить оптимальную стратегию, если 1) все состояния экономики равновероятны (критерий Лапласа); 2) вероятности состояний экономики:

.

Решение. Прежде чем решать задачу, проводим анализ платежной матрицы и отбрасываем стратегии заведомо невыгодные.

Цель I игрока – увеличить свой выигрыш, поэтому 5-я стратегия ему не выгодна (все элементы пятой строки меньше соответствующих элементов других строк).

Рассчитаем риски по формуле .

Получаем матрицу рисков предприятия:

2	0	6	7
0	11	1	6
3	5	5	3
4	4	0	0

Предполагаем, что все состояния экономики равновероятны (критерий Лапласа). Тогда вероятности всех состояний экономики . Находим для каждой стратегии математическое ожидание выигрыша и выбираем стратегию с максимальным найденным значением.

Максимальное математическое ожидание выигрыша 12 по критерию Лапласа дает стратегия 4.

Решаем задачу по критерию Байеса при

. Снова находим для каждой стратегии математическое ожидание выигрыша и выбираем стратегию с максимальным найденным значением.

Максимальное математическое ожидание выигрыша 11,7 по критерию Байеса дает стратегия 1.