Тема 2.3. Игры размера m × n

Приведение матричной игры к задаче линейного программирования

Рассмотрим игру размерности .

Оптимальная стратегия обеспечивает игроку I средний выигрыш не меньший, чем цена игры , при любой стратегии игрока II и выигрыш, равный цене игры , при оптимальной стратегии игрока II.

Математическое ожидание выигрыша игрока I, если он применяет смешенную стратегию против чистой стратегии игрока II вычисляется по формуле

Для оптимальной стратегии все математические ожидания выигрыша (средние выигрыши) не меньше цены игры , поэтому получаем

Разделим все неравенства на и введем новые переменные:

Получим систему:

Максимизация цены игры равносильна минимизации .

Задача принимает следующий вид:

найти значения переменных , удовлетворяющие ограничениям

и минимизирующие функцию

Это задача линейного программирования.

Для определения оптимальной стратегии надо учесть, что: игрок II стремится минимизировать гарантированный проигрыш, т.е. математическое ожидание проигрыша (среднего проигрыша) игрока II не превосходит цены игры, какую бы чистую стратегию ни применял игрок I:

Тогда, если произвести преобразования аналогичные действиям для нахождения и обозначить для , задача примет вид задачи линейного программирования.

Найти значения переменных , удовлетворяющие ограничения и максимизирующие функцию

Составим расширенные матрицы для задач нахождения и :

Одна матрица получается из другой транспонированием; в одной условия «» в другой «»; в одной задаче целевая функция на минимум в другой на максимум. Вывод: имеем пару симметричных двойственных задач.

Значит, при определении оптимальных стратегий в конкретных задачах при «ручном» счёте надо выбрать ту из двойственных задач, решение которой менее трудоемко, а решение другой найти с помощью теорем двойственности.

Пример 5. Предприятие может выпускать три вида продукции , получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из четырех состояний .

Дана матрица, элементы которой характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске –й продукции с –м состоянием спроса.

	3	3	6	8
	9	10	4	2
	7	7	5	4

Определить оптимальные пропорции выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным.

Решение. Задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия (игрок I) против спроса (игрок II) задана платежной матрицей

.

Прежде чем решать задачу, надо попытаться упростить игру.

Проводим анализ платежной матрицы и отбрасываем стратегии дублирующие или заведомо невыгодные.

Цель II игрока – уменьшить выигрыш игрока I, поэтому 2-я стратегия игрока II ему не выгодна (все элементы второго столбца не меньше элементов первого столбца).

Получим

Находим нижнюю и верхнюю цену игры:, .

Т.к. , седловая точка отсутствует. Решать задачу надо в смешанных стратегиях.

Необходимо найти и . Вводим обозначения , и , . Составим пару двойственных задач.

Задача I

Задача II

Решаем симплекс методом задачу II, т.к. после приведения к каноническому (основному) виду она будет иметь исходный опорный план.

Оптимальное базисное решение задачи II:

.

С помощью соотношений двойственности находим оптимальное базисное решение задачи I:

.

Найдем цену игры

Оптимальная стратегия игрока I находится по формулам .

;;

Что означает, предприятие должно выпускать 40% продукции и 60% продукции , а продукцию не выпускать.

Оптимальная стратегия спроса определяется аналогично:

.

( вспомнили, что второй столбец исходной матрицы был отброшен как невыгодный).

Значит, оптимальный спрос в 20% находится в состоянии и в 80% – в состоянии .

На практике реализация оптимального решения в смешанных стратегиях может происходить несколькими путями.

Первый состоит в физическом смешении чистых стратегий в пропорциях, заданных вероятностями .

Другой путь – при многократном повторении игры – чистые стратегии применяются в виде случайно последовательности, причем каждая из них – с частотой, равной ее вероятности в оптимальном решении.