3.4 Базисні логічні функції
Будь-яку логічну функцію можна подати сукупністю елементарних логічних функцій: диз'юнкцією, кон’юнкцією, інверсією або їхньою суперпозицією. Набір елементарних функцій АБО, І, НІ називають функціонально повним або базисним (базисом).
3.5 Принцип двоїстості булевої алгебри
Якщо
у виразі F8
= А
В
кон’юнкцію замінити на диз'юнкцію і
проінвертувати обидві змінні, то
результат виявиться інверсією старого
значення
функції
.
Аналогічно, якщо у вираженні F14=АВ
диз'юнкцію замінити на кон’юнкцію і
проінвертувати обидві змінні, то
результат виявиться інверсією старого
значення функції
.
Указані властивості логічних функцій відбивають принцип двоїстості булевої алгебри.
3.6 Основні тотожності булевої алгебри
-
А + 0 = А ;
А + 1 = 1 ;
А + А = А ;
А + А = 1 ;
А . 0 = 0 ;
А . 1 = А ;
А . А = А ;
А . А = 0 ;
А =А .
Два корисних вирази:
;
.
3.7 Основні закони булевої алгебри
Перемісний (властивість комутативності) : А+В=В+А; А.В=В.А.
Сполучний (властивість асоціативності): (А+В)+С=А+(В+С); (А.В).С=А.(В.С).
Розподільний ( властивість дистрибутивності ) : А.(В+С)=А.В+А.С; А+В. С=(А+В). (А+С).
Поглинання: А+А.В=А ; А. (А+В)=А.
Склеювання:
;
.
Заперечення:
;
(форма 1);
;
(форма 2).
Останні вирази випливають з принципу двоїстості булевої алгебри і називаються також теоремою де Моргана.
Теорема без назви: Існує ще одна теорема без назви, яку можна навести у наступному вигляді:
;
;
;
.
3.8 Досконала диз’юнктивна нормальна форма (дднф) запису булевих виразів
Булеві вирази простих логічних функцій можна записати по їх словесному опису. У загальному випадку для одержання аналітичної форми використовують таблиці істинності.
Припустимо, логічна функція трьох змінних задана таблицею істинності (таблиця 3.4).
Таблиця 3.4
-
N набору
C
В
А
F
0
0
0
0
0
1
0
0
1
1
2
0
1
0
0
3
0
1
1
0
4
1
0
0
1
5
1
0
1
1
6
1
1
0
1
7
1
1
1
0
Ця функція має чотири конституенти одиниці К1, К4, К5 і К6 (коституента одиниці - це одиничне значення ПФ на одному з наборів. Усього для ПФ трьох змінних може бути вісім конституент, якщо функція приймає одиничне значення на усіх наборах). Для нашого приклада
-
К1 = С . В . А ;
К4 = С . В . А ;
К5 = С . В . А ;
К6 = С . В . А.
Булевий вираз ПФ у ДДНФ являє собою суму конституент одиниці
-
F = С . В . А+С . В . А+С . В . А+С . В . А.
( 3.2 )
Оскільки конституенти одиниці записуються у вигляді кон’юнкцій, то ДДНФ являє собою суму кон’юнкцій, кожна з яких містить усі змінні в прямому або інверсному вигляді не більш одного разу. Очевидно, що логічна функція має єдиний булевий вираз в ДДНФ, що випливає з методики його одержання.
ДДНФ зветься диз’юнктивною (включає суму кон’юнкцій), досконалою (усі кон’юнкції містять кожну змінну у прямому або інверсному вигляді) та нормальною (двохрівневою) – її реалізація потребує логічних елементів двох видів: кон’юнкторів та диз’юнкторів, при цьому вважається, що вихідні змінні задаються у прямому та інверсному вигляді.