1.11. Понятие обратной решетки

В рентгеновской кристаллографии и квантовой теории металлов широко используется представление об обратной решетке. Она является математическим построением. Каждый узел обратной решетки отвечает определенной атомной плоскости пространственной решетки кристалла. Так, плоскости (hkl) прямой решетки в обратной решетке соответствует узел [[hkl]] с теми же индексами. При построении обратной решетки ее координатные оси и единичные вектора выбирают таким образом, чтобы выполнялись соотношения:

(aa*)=(bb*)=(cc*) = 1 (1.24)

(ab*)=(ac*)=(ba*)=(bc*)=(ca*)=(cb*) = 0 , (1.25)

т.е. скалярные произведения одноименных векторов равны 1, а разноименных векторов – нулю. Здесь a, b, c- единичные вектора прямой решетки,a*,b*,c* - единичные вектора обратной решетки на координатных осях обратной решетки x*, y*, z*.

При таком построении, как будет показано ниже, обратная решетка очень наглядно характеризует расположение атомных плоскостей в прямой решетке и, кроме того, облегчает решение ряда структурных задач.

Из указанных соотношений вытекает ряд следствий, которые определяют направление координатных осей x*, y*, z* обратной решетки и величину единичных векторов a*,b*,c*.

Например, из соотношения (ba*)=0 и (ca*)=0 следует, что векторa* обратной решетки перпендикулярен векторамbиспрямой и, следовательно, является нормалью к плоскости прямой решетки, в которой лежат эти вектора. Точно так же можно получить, что вектораb* ис* перпендикулярны плоскостям ac и ab прямой решетки, то есть все координатные оси обратной решетки перпендикулярны плоскостям прямой.

Величина единичных векторов обратной решетки может быть определена следующим образом. Поскольку вектор a* перпендикулярен плоскости bc, то его можно выразить через векторное произведениеa*=₁[bc], где₁ - коэффициент пропорциональности и

|a*|=

Умножим левую и правую части равенства на a, получим (aa*)=₁(a[bc])= ₁V=1, откуда₁₌1/V.

Следовательно: a*=[bc]/V

и аналогично b*=[ac]/V иc*=[ab]/V. (1.26)

Соотношение (1.26) позволяют определить величину единичных векторов обратной решетки. Обратная решетка является таким преобразованием прямой, при котором сохраняется ее сингония. Элементарная ячейка обратной решетки может иметь иное расположение узлов, чем у прямой решетки. Например, решетка обратная гранецентрированной кубической, есть кубическая объемноцентрированная.

Ориентацию плоскости (hkl) прямой решетки в пространстве определяет ориентацию вектора, соединяющего начало координат обратной решетки с ее узлом [[hkl]]. Такой вектор определяется соотношением

H=ha* +kb*+lc* . (1.27)

Докажем, что вектор Hвсегда перпендикулярен атомной плоскости прямой решетки с теми же индексами (hkl). Возьмем произвольную прямую решетку с осями координат x, y, z (рис.1.14). Выберем из семейства параллельных плоскостей (hkl) одну плоскость, ближайшую к началу координат. Эта плоскость отсекает отрезки на осях координат

OA=a/h; OB=b/k; OC=c/l . (1.28)

Рассмотрим, что из себя представляет нормаль к плоскости (hkl). Очевидно, что направление нормали к плоскости должно быть параллельно векторному произведению двух векторов, лежащих в плоскости, например, произведению [ABBC]. Подставим значение векторов из (1.28) и перемножим:

[ABBC] = [(b/k -a/h) (c/l -b/k)] = [bc]/kl- [ac]/hl+ [ab]/hk= 1/hkl{h[bc] +k[ca] +l[ab].

Направление вектора не изменится, если умножим его на числоhkl/V, тогда

[ABBC] = h[bc]/ V + k[ca]/ V + l[ab]/ V = ha* + kb* + lc* = H ,

т.е. векторное произведение [ABBC] есть не что иное, как векторH обратной решетки, и он всегда перпендикулярен плоскости прямой решетки с теми же индексами.

Таким образом, зная направление вектора H, можно установить ориентацию в пространстве кристаллографической плоскости (hkl).

Величина вектора H.Абсолютное значение вектораHможно получить, рассматривая скалярное произведение вектораа/hи единичного вектора nвдоль оси N (рис.1.14). Последний равен n=H/|H|. Тогда скалярное произведение двух векторов можно записать, как произведение модуля одного из них |n| на алгебраическую проекцию другого вектора a/hна ось N. Поскольку алгебраическая проекция вектораa/hна ось N есть не что иное, как межплоскостное расстояние d, то имеем (na/h)=1d или

(na/h)=(a/hH/|H|)=a/h(a*h+b*k+c*l)/|H|= 1/|H|=d . (1.28)

Рис. 1.14. К доказательству перпендикулярности вектора обратной решетки и плоскости прямой решетки (hkl).

Полученное соотношение (1.28) связывает величину вектора H и межплоскостное расстояние.Используя это соотношение, можно получить квадратичные зависимости между величиной d, параметрами элементарной ячейки и индексами данной системы параллельных плоскостей. Рассмотрим несколько примеров.

Кубическая сингония. Запишем абсолютное значение H как

H²=1/d²=h²a*²+k²b*²+l²c*²+2hka*b*cos+2hla*c*cos+2klb*c*cos. (1.29)

В конечном итоге можно дать следующее определение обратной решетки: обратной решеткойназываетсясовокупность узлов, связанных с совокупностью нормалей H_hkl к плоскостям прямой решетки.Узел обратной решетки представляет собой конец нормали, проведенной из начала координат прямой решетки и имеющий длину H, обратно пропорциональную соответствующему межплоскостному расстоянию системы плоскостей (hkl) в прямой решетке. Такая совокупность узлов образует обратную пространственную решетку.