1.4. Сочетание элементов симметрии

Можно провести классификацию геометрических фигур или пространственных сеток кристаллов по элементам симметрии. Дело в том, что каждая фигура имеет ряд элементов симметрии, которые ее характеризуют. Например, квадрат обладает четырьмя плоскостями симметрии, расположенными под 45, и осью симметрии 4-го порядка, проходящей через точку пересечения плоскостей симметрии. Всю совокупность элементов симметрии для квадрата можно выразить формулой L₄4P (по Белову). Аналогичным образом и более сложные фигуры или структуры кристаллов можно охарактеризовать совокупностью элементов симметрии. Если рассматривать различные сочетания из элементов внутренней симметрии, то получим число возможных пространственных моделей, отличающихся набором элементов симметрии. Впервые Федоровым было строго математически доказано, что число таких сочетаний илипространственных групп равно 230. Все огромное количество кристаллов, известных в настоящее время, укладывается в 230 федоровских групп. Кроме пространственных групп можно разделить все кристаллы на более крупные классы, рассматривая возможные сочетания из элементов только внешней симметрии. Такие классы получили названиевидов симметрии.Математически показано, что число видов симметрии равно 32. Понятие вида симметрии тесно связано с макросвойствами кристалла и анизотропией свойств вдоль различных направлений. Оказывается, что макросвойства кристалла, и в частности огранка, зависят от его симметрии, причем некоторые элементы симметрии такие, как винтовые оси, плоскости скользящего отражения и трансляции, не проявляются при рассмотрении макросвойств. Если исключить эти элементы симметрии из 230 пространственных групп, то также можно получить 32 класса, илиточечных группыкристаллов. При этом полагают что:

1) все элементы симметрии пространственной группы переносятся до пересечения в одной точке;

2) винтовые оси и плоскости скользящего отражения заменяются простыми поворотными осями и плоскостями зеркального отражения.

Точечные группы включают те же элементы симметрии, что и виды симметрии, полученные из рассмотрения только внешней формы кристаллов.

1.5. Пространственная решетка

Рассмотрев симметричные преобразования, возвращаемся к понятию пространственной решетки кристалла.

Пространственная решетка строится на основе реальной структуры кристалла. Рассмотрим это на примере CsCl. В этом кристалле ионы цезия расположены по отношению к ионам хлора так, как это показано на рис.1.6,а. Ионы имеют различные размеры. Их величину и расположение в кристалле характеризует элементарная ячейка структуры (рис.1.6,а).

В отличие от структуры пространственная решетка изображает кристалл как систему абстрактных точек - узлов бесконечной пространственной решетки. При этом расположение узлов характеризует закономерность расположения частиц, например Cs или Cl, в пространстве. Такую закономерность, по которой построен кристалл CsCl, можно выявить при рассмотрении трансляционной симметрии его структуры. Выделим все возможные вектора трансляции в элементарной ячейке структуры CsCl. Из произвольной точки, выбранной за начало координат (рис.1.6,б), строим все вектора трансляции, характерные для данной структуры (рис.1.6,а). Их возможно семь - семь возможных параллельных переносов иона Cs (рис.1.6,б), который мы взяли за начальный, в вершины куба, где новое расположение его по отношению к окружающим частицам кристалла будет абсолютно таким же, как и первоначальное. Концы векторов трансляции определяем точками - узлами. Полученная совокупность узлов (рис.1.6,б) и носит название пространственной решетки.

Рис.1.6. Построение элементарной ячейки пространственной решетки:

а - структурная ячейка; б - пространственная.

Соединив узлы, построенные нами, получим элементарную ячейку пространственной решетки. Для CsCl это примитивная ячейка, так как вектор, проведенный от Cs к Cl, не будет являться вектором трансляции, поэтому мы не получим узла в центре ячейки пространственной решетки (рис.1.6,б). Вся пространственная решетка может быть получена параллельным переносом элементарной ячейки.

Пространственная решетка, таким образом, характеризует трансляционную симметрию кристалла. Узлы ее не следует считать связанными с материальными частицами структуры, так как начало координат при нахождении векторов трансляции мы можем выбрать в любой структурной ячейке и в частности между двумя ионами (атомами).

Размеры элементарных ячеек структуры и пространственной решетки всегда одинаковы, а тип ячейки может быть различным, как в случае CsCl. Рассматривая всевозможные кристаллы, можно заключить, что число различных пространственных решеток ограничено, в то время как структур бесконечное множество.