Добавил:

Spashcool Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Финансовый университет при Правительстве РФ

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Свирщевский - Вопросы и задачи по математическому анализу

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.05.2013

Размер:

406.9 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

II.З А Д А Ч И

1.Функции одной переменной

•Предел последовательности

Найти предел последовательности:

1.	lim	(		49n2 +5n −3 −7n).
	n→∞
3.	lim	(		n2 + 25 −n)sin(n2 + 25) .
	n→∞
5.	lim		(8n2 −n cos n)(n4 + 2)					.
						(2n +3)6
	n→∞
				5n −1			5n +3
7.	lim						.
					n
				5		−5
	n→∞

• Предел функции

		n2	+3n	+8 −4n
2.	lim						.
			3n2	+	5n
	n→∞
4.	lim	(2n +1)		5 (7n +sin n)				.
			(4n3		−	1)2
	n→∞

6. lim (4n +3)(ln(n −4)−ln(n +3)).

n→∞

8. lim n2 −2n + 4 3n . n→∞ n2 +3n +2

Найти предел функции:

lim

x2 −3x −10 .

10.

lim (

x2 +6 −

x2 −6 )cos(x2 +8).

x→5 x2 + x −5 − x

x→∞

x2 sin(1/ x) +sin 6x

9x2 +1

11.

lim

12.

lim

sin

x→0

tg 2x

3x −6

x→∞

sin 4

5x −2 −4 x−3

13.

lim

14.

lim

4x −1

x→∞ 5x −3

x→∞

1−3x

x+2

10 −sin x

5 / x

x2 −x

15.

lim

16.

lim

x→0

1 + x

x→0 10 + 2sin x

17. lim 3 x −1 .

x→1 x −1

5x −1

19. lim ( ). x→0 ln 9x +1

21. lim cos 5x −cos 2x .

x→0 x2

23. lim (x3e−x2 ).

x→∞

• Исследование функций

						1
18.	lim		sin(πx 4					)	.
18.	lim							1	.
	x→1 sin(2 πx							3 )
			1		−1).
20.	lim x(3
20.	lim x(3			4 x
	x→∞
22.	lim	ln(e3x				−3x)				.
22.	lim		x4 −			5x2				.
	x→0		x4 −			5x2
24.			4				−		6
	lim
	lim								− x6
	x→1 1 − x4							1	− x6

Исследовать функцию и построить ее график:


25. y =10xe				x							y = (x −1)2 (x +1)3 .
					.					26.
				2	.					26.
27.	y =	x2	+ 24x					.		28.	y =	x2	+ x −2		.
27.	y =	x −8						.		28.	y =	x2 +2x +		1	.
		x −8										x2 +2x +		1
29. y =		x3	−2x				2 + 4		.	30.	y =	x3
29. y =				x2					.	30.	y =	x2 − 4
				x2								x2 − 4
31.	y =	x3									y = 27		(x + 2)	2
						.				32.					.
		x2				.				32.			(x +3)	3	.
		x2	+3										(x +3)	3

2.Функции нескольких переменных

•Дифференциалы

Найти первый и второй дифференциалы функции f (x, y) в точке M:


33.	f (x, y) = x2 −3y3 +5xy2 ,		M (0,1) .
34.	f (x, y) = cos 2x +sin 5 y ,		M (−π/ 2, 0) .
35.	f (x, y) = sin(x y) ,	M (1, π) .
36.	f (x, y) = e4 x+y2 ,	M (−1, 2) .

• Производная по направлению

Найти производную функции f (x, y) в точке M по заданному направ-

лению:

37.f (x, y) = 5x3 +3xy −2 y3 , M (−1,1) , по направлению вектора a(3, 4) .

38.f (x, y) = 5x2 −2xy3 + 2 y , M (2, −1) , по направлению, составляюще-

му угол π/ 3 с осью Ox .

39.	f (x, y) = 4 cos 4x +3sin 2 y , M (−π/ 2, 0) , по направлению вектора
	a(1, −4) .
40.	f (x, y) = ln(6x2 + y2 ), M (1, −1) , по направлению, составляющему
	угол π/ 4 с осью Ox .

• Локальный экстремум

Найти локальные экстремумы функции:

41.f (x, y) = −3x2 + 4xy −3y2 + 24x − 26 y +1.

42.f (x, y) = 5x2 −8xy +5 y2 − 2x − 2 y +9 .

Найти точки локального экстремума функции:

43.f (x, y) = x2 −18 ln x + y3 −12 y .

44.f (x, y) = x3 +3xy2 −15x −12 y +10 .

• Наибольшее и наименьшее значения функции

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x, y) на множестве D :

45.f (x, y) = xy(9 − x − y) , D ={(x, y) | x + y ≤12, x ≥ 0, y ≥ 0}.

46.f (x, y) = x(x − 2) y( y −4) , D ={(x, y) | 0 ≤ x ≤ 4, 0 ≤ y ≤ 3}.

47.f (x, y) = 2x +12 y −3, D ={(x, y) | x2 + 4 y2 ≤10}.

48. f (x, y) = x2 + y2 + 4x −3y , D ={(x, y) | x2 + y2 ≤ 25}.

3.Интегральное исчисление

•Неопределенный интеграл

Найти интеграл:
49.	∫	4 + ln(2x −3)		dx .
		(2x −3) ln(2x −	3)

51. ∫cos3 (5x +3)dx .
53.	∫(x2 +6x + 2)ex dx.

55.∫3x2 +8x −4 dx .

x3 −4x

• Определенный интеграл

Найти интеграл:

π / 2			8cos x
57. ∫				dx .
	sin	2	x +2sin x −15
0

59. ∫(4x +9)ln xdx .

• Несобственные интегралы

50. ∫(8x +5) 4x2 +5x −3dx .

52.	∫cos 3x cos 4xdx .
54.	∫	10x +44	dx .
		x2 +8x +17

56.∫4x2 −11x −12 dx .

x3 −3x2

π / 4 4x +5

58. ∫0 cos2 x dx .

8 12x +3

60.∫3 2 x +1 dx .

Найти интеграл:

+∞

61. ∫xe−2 x dx .

5	1 +	5 − x	dx .
63. ∫		5 − x	dx .
0		5 − x

+∞		dx
62. ∫		dx	.
62. ∫		2	.
0	x(ln	x + 4)

64. ∫ln(x −2) dx .

• Геометрические приложения

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми:

65. y = x2 −3x и y =15 −5x .

66. xy = 40 и x + y =13.

										25
67. y =		64	и y	=		x	2		.	68. y = x , y = x −2 и y = 0 .
	x2	+16			8

69. Найти объем тела,								образованного вращением вокруг оси Ox пло-
ской		фигуры,			ограниченной параболой y2 = 3x −6 и прямой

y = x −2 .

	4. Ряды
• Сумма числового ряда
Найти сумму ряда:
∞	∞	1
70. ∑(2−n −2−(n+3) ).	71. ∑	1	.
70. ∑(2−n −2−(n+3) ).	71. ∑		.
n=1	n=1 n2 +5n +6

• Числовые ряды с неотрицательными членами

Исследовать сходимость ряда:

	∞	(n −1)2				n
72.	∑							.
				3n+1
	n=1
	∞	4	n	−5n
74.	∑				.

	n=1	8n +2n
	∞			2n −3
76. ∑									.

	n=1 n2 +4n +10
78.	∞	2 +(−1)					n
	∑						.
	n=1		3n +10

∑∞ 5n

73. n=1 (n +1)! .

75. ∑∞ 1 −sin n .

n=1 n2 +5

∞	6
77. ∑		.

n=2 nln2 n
∞	n +(−1)		n
79. ∑			.
n=1	n(n +7)

• Знакочередующиеся числовые ряды

Выяснить, сходится ли ряд абсолютно, условно или расходится:

∞

(−1)

+7)

∞

(−1)

80.

∑

81.

∑

(8n −5)3

n=1

∞

(−1)n

∞

−n

82.

∑

+ 2

83.

∑

(−1)n 1

n=1

• Степенные ряды

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда:

∞

n(x −4)

84.

∑

85.

∑

n=0

8n+1

n=0

2n +5

Найти область сходимости степенного ряда:

∞

(x +

∞

(x −4)

86.

∑

87.

∑

n5n

n + 4

n=1

n=0

∞

(−1)

(x + 4)

∞

(−1)

−5)

88.

∑

89.

∑

n2 + 4

n +3

n=0

•Разложение функций в ряд Тейлора

Разложить функцию f (x) в ряд Тейлора с центром в точке x0 и найти интервал сходимости полученного ряда:

90.	f (x) =	4		, x0 = 2 .	91. f (x) = ln(8 + 2x − x2 ) , x0 = −1.
		+2x	− x2
	3
				5. Кратные интегралы
Вычислить двойной интеграл по области G :
92.	∫∫(3x + y)dxdy , G ={(x, y) \| 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤1}.
	G
93.	∫∫(12x2 + 4 y)dxdy , G ={(x, y) \| 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2}.
	G
94.	∫∫(x2 + 4xy) dxdy , G ={(x, y) \| 1 ≤ x ≤ 3, 0 ≤ y ≤ x}.
	G
95.	∫∫2x2 y dxdy , G - множество точек плоскости, ограниченное пря-
	G
	мыми y = x ,		y = 4x и x = 2 .
96.	∫∫e2 x−y dxdy , G - множество точек плоскости, ограниченное пря-
	G
	мыми y = 2x , y = 3x и x =1.
97.	∫∫ x2 + y2 dxdy , G ={(x, y) \| x2 + y2 ≤ 9, x ≥ 0, y ≥ 0}.

6. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Решить уравнение:

98.

y′+ xy2 = 8xy .

99.

xy′−4 y = 2x2 .

100.

y′+ 2 y = 6x −11.

101.

y′cos 3x +3y sin 3x = 9 .

102.

x2 y′−3xy −4 = 0 .

103.

y′− y = y2e3x .

104.

y′+

y = −x2 .

105.

y′+

= −3x2 .

1 + x2

Найти решение задачи Коши:

106.

′

4xy

= 0 , y(0) =1. 107.

′

+ y = −2 y

y(1) = −1.

+1)y +

Решить уравнение:

108.

y′′+9 y′+ 20 y = −150ex .

109.

y′′−4 y = (−9x +12)ex .

110.

′′

′

−10x−35 .

111.

′′

′

32 y = 75e

−x

5 y + 4 y =

112. 9 y′′+ y = 2x2 −1.

113.

y′′+10 y′+ 25 y = −36ex .

114.

y′′−8 y′+16 y = (x + 2)e2 x .

115.

y′′− y′−6 y = 2e3x .

Решить систему уравнений:

y1′

= 2 y1 +8 y2 ,

y′

= 5 y

−2 y

+3ex ,

116.

117.

′

= 3y1 + 4 y2 .

y′

= y

+ 2 y

y′

= y

+ 4 y

118.

(0) =1, y2 (0) = −3.

Найти решение задачи Коши:

′

y2 = 2 y1 − y2 ,

7. Разностные уравнения

Решить уравнение:

119.

xn+2 −9xn+1 + 20xn = 3 2n .

120.

xn+2 −16xn = −4 .

Ответы к задачам

5 /14 .

0 .

3. 0.

4. 14.

5. 1/ 8 .

6. − 28 .

e4 .

8. e−15 .

9. 70 .

10. 0 .

11. 3.

12. 3/2.

13.

4 .

14. e−4 / 5 .

15. e8 .

16. e−15 .

17. 2 / 3.

18. −3 / 8 .

19.

ln 5

20.

ln 3

21. −10,5

22. −0,9 .

23. 0.

24. −1.

25.

D( f ) = R ;

y = 0 - горизонтальная асимптота при x → −∞;

y′=

5(x + 2)e

y↓на (−∞;−2) ,

y↑на (−2;+∞) , x = −2 - точка минимума;

y′′= 52 (x +

4)e

функция вогнута на (−∞;−4) , выпукла на (−4;+∞) ,

x = −4 - точка перегиба.

26.

D( f ) = R ;

асимптот нет;

y′= (x −1)(x +1)2 (5x −1) ,

y↑ на (−∞;0,2) и (1;+∞) , y↓ на (0,2;1) ,

x = 0,2 - точка максимума, x =1 - точка минимума;

y′′= 4(x +1)(5x2 − 2x −1) ,

функция вогнута на (−∞;−1) и (

1−

;

) ,

выпукла на (−1;

1−

) и (

1+ 6

;+ ∞) , x = −1,

x =

1± 6

- точки перегиба.

27. D( f ) = R \ {8};

асимптоты: x = 8 и y = x +32 ;

y′ =

(x+8)(x−24)

y↑ на (−∞;−8) и (24;+∞) ,

y↓ на (−8;8)

и (8; 24) ,

(x−8)2

x = −8 - точка максимума, x = 24 - точка минимума;

y′′ =

512

, функция вогнута на (−∞;8) , выпукла на (8;+∞) .

(x−8)3

28. D( f ) = R \ {−1};

асимптоты: x = −1 и y =1;

y′=

x+5

, y↑ на (−∞; −5) и (−1;+∞) , y↓ на (−5; −1) ,

(x+1)3

x = −5 - точка максимума;

′′

x+7

= −2

(x+1)4 ,

функция выпукла на (−∞;−7)

, вогнута на (−7; −1) и

(−1;+∞) , x = −7

- точка перегиба.

29. D( f ) = R \ {0};

асимптоты: x = 0 и y = x −2 ;

′

y↑ на (−∞; 0) и (2;+∞) , y↓ на (0; 2) ,

=1− x3 ,

x = 2 - точка минимума;

y′′= 24x4

, функция выпукла на (−∞;0) и (0;+∞) .

30. D( f ) = R \ {±2} ;

асимптоты: x = ±2 и y = x ;

′

x2 ( x2 −12)

, y↑ на (−∞;− 2 3) и (2 3;+∞) , y↓ на (−2 3;− 2) , (−2;2)

( x2 −4)2

и (2;2

3) ,

x = −2 3 - точка максимума, x = 2 3 - точка минимума;

′′

=8x

x2 +12

( x2 −4)3 ,

функция вогнута на (−∞;−2) и (0;2) ,

выпукла на (−2;0) и (2;+∞) ,

x = 0 - точка перегиба.

31. D( f ) = R ;

функция нечетная; асимптота:

y = x ;

′

x2 (x2 +9)

y↑ на R ; y

′′

x2 −9

= (x2 +3)2

= −6x (x2 +3)3 ,

функция выпукла на (−∞;−3)

и (0;3) , вогнута на (−3; 0) и (3;+∞) , x = 0 и x = ±3 - точки перегиба.

32. D( f ) = R \ {−3};

асимптоты: x = −3 и y = 0 ;

′

x(x+2)

y↓ на (−∞; −3) , (−3; −2)

и (0;+∞) , y↑ на (−2; 0) ,

=−27 (x+3) 4

x = −2 - точка минимума, x = 0 - точка максимума;

y′′ = 54 x2 −3

(x+3)5

, функция вогнута на (−∞;−3) и (− 3; 3) , выпукла на

(−3; − 3) и (− 3; + ∞) , x = ± 3 - точки перегиба.

33.df (0,1) = 5dx −9dy , d 2 f (0,1) = 2dx2 + 20dxdy −18dy2 .

34.df (−π/ 2, 0) = 5dy , d 2 f (−π/ 2, 0) = 4dx2 .

35.	df (1, π) = −πdx − dy ,	d 2 f (1, π) = −2dxdy .
36.	df (−1, 2) = 4(dx + dy) ,	d 2 f (−1, 2) =16dx2 +32dxdy +18dy2 .
37.	18 / 5 .	38. 11 −5 3 .

		30
39.	− 24 / 17 .	40.	5 2 / 7 .
41.	fmax = f (2, −3) = 64 .	42.	fmin = f (1,1) = 7

43.(3, 2) - точка минимума.

44.(2, 1) - т. минимума, (− 2,−1) - т. максимума.

45.	fнаим= f (6, 6)=−108 ,													fнаиб = f (3, 3)=27 .
46.	fнаим = f (4, 2) = −32 ,														fнаиб = f (1, 2) = 4 .
47.	fнаим = f (−1; −1,5) = −23 ,															fнаиб = f (1;1,5) =17 .
48.	fнаим = f (−2;1,5) = −6,25 ,															fнаиб = f (4, −3) = 50 .
49.	2 ln			ln(2x −3)				+		1		ln(2x −3) +C .					50.	2		(4x2 +5x −3)3 / 2 +C .
										1								2
																		3
								2																	1
								2
51.	−	1			sin3 (5x +3) +							1	sin(5x +3) +C . 52.						1		sin 7x +					sin x +C .
51.	−				sin3 (5x +3) +						5		sin(5x +3) +C . 52.					14			sin 7x +				2	sin x +C .
	15										5							14							2
53.	(x2 + 4x − 2)ex + C .																54.	5ln(x2 +8x +17)+4arctg(x +4) +C .
55.	ln		x	+3ln		x −2			−ln				x +2		+C .		56.	−		4 +5ln			x	−ln				x −3	+C .
55.	ln		x	+3ln		x −2			−ln				x +2		+C .		56.	−		4 +5ln			x	−ln				x −3	+C .
																				x
																				x
57.	ln(5 / 9) .						58.					π+5 −2ln 2 .					59.	e2 +10 .									60.			67.
61.	1/ 4 .						62.					π/ 2 .					63.	5 +2				5 .					64.			−1.
65.	256 / 3.						66.					39 − 40ln				8 .	67.	8 π−				16 .					68. 10 / 3 .
											2					5						3
69.	9 π/ 2 .						70.				7 / 8 .						71.	1/ 3 .									72.			Сходится.
73.	Сходится.						74.					Сходится.					75.	Сходится.									76.			Расходится.
77.	Сходится.						78.					Расходится.					79.	Сходится.									80. Сходится условно.
81.	Сходится абсолютно.														82. Сходится условно.													83. Расходится.

<<< < Предыдущая 1 23 / 43 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
27.05.20132.29 Mб59matan1.doc
#
27.05.20137.09 Mб40matan3.doc
#
27.05.2013307.84 Кб74Г.А. Постовалова, П.В. Ягодовский - МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Контрольные работы по математике. Часть I.pdf
#
27.05.2013531.75 Кб58Постовалова Г.А., Пыркина О.Е. Борцова Т.В. - Математический анализ Контрольные работы по математике. Часть 2.pdf
#
27.05.2013406.9 Кб57Свирщевский - Вопросы и задачи по математическому анализу.pdf