Свирщевский - Вопросы и задачи по математическому анализу

11

•Сходимость последовательности точек

53. Дайте определение сходящейся последовательности точек в Rn . К

•Предел и непрерывность функции

(0, 0) .

56. Дайте определение функции двух переменных, непрерывной в точ-

точке (1, 0) ?

•Частные производные, дифференцируемость, дифференциал

58. Дайте определение дифференцируемости функции f (x, y) в точке.

Докажите, что если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

12

•Производная по направлению, градиент

59. Как связаны производная по направлению и градиент дифференцируемой функции f (x, y) ? Чему равна производная по направлению,

перпендикулярному градиенту?

60. Дайте определение градиента функции f (x, y) в точке (x0 , y0 ) . До-

кажите, что в направлении градиента происходит наиболее быстрый рост функции. Чему равна скорость этого роста?

•Однородные функции

61. Дайте определение однородной функции степени α . Является ли

62. Дайте определение однородной функции нескольких переменных. Приведите пример однородной функции f (x, y) степени 3, не являю-

щейся рациональной функцией.

63. Докажите, что если однородная степени α функция f (x, y) диффе-

•Локальный экстремум

64.Дайте определение локального экстремума функции двух переменных. Является ли равенство нулю частных производных функции в некоторой точке достаточным условием ее локального экстремума в этой точке?

65.Имеет ли функция f (x, y) = x2 y4 локальный экстремум в точке (0, 0) ?

13

66.Имеет ли функция f (x, y) = x y2 локальный экстремум в точке (0, 0) ?

67.Докажите, что функция f (x, y) = x2 + y2 : а) не имеет локального экстремума в точке (1, 1) , б) имеет в этой точке условный локальный экстремум при наличии связи x + y = 2 .

•Наибольшее и наименьшее значения функции

68. Дайте определение линии уровня функции f (x, y) . Рассмотрев мно-

жество линий уровня функции f (x, y) = xy , выясните, в каких точках

прямоугольника D ={(x, y) | 3 ≤ x ≤ 6, 4 ≤ y ≤ 6} она принимает наи-

большее и наименьшее значения, и найдите эти значения.

69. Сформулируйте основные свойства непрерывных функций, задан-

ных на замкнутом ограниченном множестве в R2 . Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x, y) = x2 + y2 на множестве

D ={(x, y) | (x −5)2 + y2 ≤ 4}.

•Выпуклые множества и выпуклые функции

70. Дайте определение выпуклого множества в Rn . Приведите примеры выпуклых множеств в R2 , объединение которых: а) является выпуклым множеством; б) не является выпуклым множеством.

71.Докажите, что пересечение двух выпуклых множеств U и V R2 является выпуклым множеством.

72.Дайте определение выпуклой функции нескольких переменных. Докажите, что если функции f (x) и g(x) , определенные на выпуклом

множестве X R n , являются выпуклыми, то их сумма f (x) + g(x) –

также выпуклая функция.

14

3.Интегральное исчисление

•Первообразная и неопределенный интеграл

73.Дайте определение первообразной. Может ли первообразная иметь точку разрыва?

74.Докажите, что если F1 (x) и F2 (x) - первообразные функции f (x) на интервале X , то F2 (x) = F1 (x) +C , где C - некоторая постоянная.

75.Дайте определение неопределенного интеграла. При каких условиях справедливо равенство ∫( f (x) + g(x))dx = ∫ f (x)dx + ∫g(x)dx ?

76.Сформулируйте свойства неопределенного интеграла. Докажите,

что d(∫ f (x)dx)= f (x)dx .

77.Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

78.Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла.

•Определенный интеграл

79. Дайте определение функции f (x) , интегрируемой на отрезке [a,b] .

Докажите, исходя из определения, что постоянная функция f (x) = 9 ин-

тегрируема на любом отрезке.

рациональных чисел, не является интегрируемой на отрезке [0,1].

15

81. Докажите, что если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] , то

x

функция F(x) = ∫ f (t) dt , x [a,b], является ее первообразной на этом

a

отрезке.

82.Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона - Лейбница для определенного интеграла.

83.Докажите, что для любых непрерывных на отрезке [a,b] функций

b b b

f (x) и g(x) справедливо равенство ∫( f (x) + g(x)) dx = ∫ f (x) dx + ∫g(x) dx .

a a a

84. Применив замену переменной, докажите, что для любой непрерывной на отрезке [−a, a] нечетной функции f (x) справедливо равенство

0 a

∫ f (x) dx = −∫ f (x) dx . В чем состоит его геометрический смысл?

−a 0

•Несобственные интегралы

85. Дайте определение несобственного интеграла с бесконечным верх-

+∞ dx

ним пределом. При каких значениях a сходится интеграл ∫1 xa ?

86. Дайте определение несобственного интеграла от неограниченной

1 dx

функции. При каких значениях a > 0 сходится интеграл ∫0 xa ?

Вычислите интеграл или установите его расходимость:

16

4.Ряды

•Сходимость и сумма числового ряда

91. Дайте определения числового ряда и его суммы. Найдите сумму ря-

∞

да ∑(0,2)n−1 .

n=1

∞

92. Рассмотрев последовательность частичных сумм ряда ∑qn−1, дока-

94. Сформулируйте и докажите необходимое условие сходимости числового ряда. Приведите пример расходящегося ряда, для которого это условие выполнено.

•Числовые ряды с неотрицательными членами

∞

96. Докажите, что для сходимости ряда ∑ an , an ≥ 0 , необходимо и дос-

n=1

таточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

97. Сформулируйте и докажите признак Даламбера для числовых рядов с положительными членами.

17

98.Сформулируйте признак Даламбера в предельной форме. Приведите пример сходящегося ряда с положительными членами, к которому этот признак неприменим.

99.Дайте определение гармонического ряда. Докажите, что гармонический ряд расходится.

•Знакочередующиеся числовые ряды

100. Сформулируйте признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов. Приведите пример знакочередующегося ряда, сходящегося условно.

•Степенные ряды

101. Сформулируйте теорему Абеля для степенных рядов. Может ли

∞

ряд ∑ an xn , сходящийся в точке x = −3 , расходиться при x = 2 ?

n=0

102. Сформулируйте теорему о почленном дифференцировании степен-

∞

ного ряда. Используя эту теорему, найдите сумму ряда ∑n xn при x <1.

n=1

•Разложение функций в ряд Тейлора (Маклорена)

103. Сформулируйте достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. Докажите, что функция f (x) = sin x разлагается в ряд Мак-

лорена на любом интервале (−a, a) .

104. Докажите, что функция f (x) = ex разлагается в ряд Маклорена на всей числовой оси.

18

105. Сформулируйте теорему о почленном интегрировании степенного ряда. Используя эту теорему, найдите разложение в ряд Маклорена функции f (x) = arctg x , x <1, исходя из разложения функции

g(x) = 1 +1x2 .

106. Разложите функцию f (x) = ex в ряд Тейлора с центром в точке

x0 =1.

107.Разложите функцию f (x) = (x2 −6x +10)3 в ряд Тейлора с центром в точке x0 = 3.

5.Кратные интегралы

108.Сформулируйте теорему о сведении двойного интеграла к повтор-

ному. Докажите, что если функции f (x) и g( y) непрерывны на отрезках

b d

[a, b] и [c, d] соответственно, то ∫∫ f (x)g( y) dxdy = ∫ f (x)dx ∫g( y)dy ,

G ={(x, y) | 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ x} в виде повторного интеграла двумя спо-

собами, различающимися порядком интегрирования.

110. Сформулируйте теорему о замене переменных в двойном интегра-

ле. Перейдите к полярным координатам в интеграле ∫∫ f (x2 + y2 )dxdy ,

G

где G ={(x, y) | 9 ≤ x2 +y2 ≤36, y ≥ 0}, а затем сведите его к однократному интегралу.

19

6.Обыкновенные дифференциальные уравнения

•Задача Коши

111. Сформулируйте теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения y′ = f (x, y) . Проверьте выполнение ус-

ловий этой теоремы для задачи y′ = 5y +7x , y(0) = 0 .

112. При каких условиях решение задачи Коши: y′ = f (x, y) , y(x0 ) = y0 , существует и единственно? В каких точках (x0 , y0 ) эти ус-

ловия выполнены для уравнения y′ = 7 y ?

113. Дайте определение особого решения дифференциального уравне-

ния. Найдите особое решение уравнения y′ = 5 y.

•Линейные уравнения

однородного дифференциального уравнения второго порядка. Какой вид имеет общее решение такого уравнения?

20

118. Найдите линейное дифференциальное уравнение, для которого

функции y = e2 x и y = e4 x образуют фундаментальную систему решений.

7.Разностные уравнения

119.Дайте определение линейного разностного уравнения второго по-

рядка. Докажите, что если xn(1) и xn(2) - решения линейного неоднородно-

го разностного уравнения, то их разность xn(1) − xn(2) является решением соответствующего однородного уравнения.

120. Дайте определение линейного разностного уравнения k -го порядка. Каков порядок разностного уравнения 2xn+1 = xn + xn+2 , выражающего характеристическое свойство арифметической прогрессии? Укажите общее решение этого уравнения.