Конспект лекцій_лінійна алгебра / lek16_linalg

Лекція 16

Квадратичні форми

16.1. Визначення квадратичної форми

Однорідний многочлен другого степеня від n змінних із дійсними коефіцієнтами називають квадратичною формою:

Якщо в деякому просторі вибрати деякий базис, то про квадратичну форму можна думати, як про деяку функцію, значення якої визначається через

координати x1 ,...,xn вектора x .

Квадратичну форму можна записати в матричному вигляді:

xT Ax ,

де x x1 ,...,xn - стовпець, що складений із змінних; A aij -

симетрична матриця порядка n , що називається матрицею квадратичної

форми.

Ранг матриці А квадратичної форми називають рангом квадратичної форми. Якщо матриця А має найбільший ранг, що дорівнює кількості змінних n , то квадратичну форму називають невиродженою, а якщо rangA n, то її називають виродженою.

визначити її ранг.

Розв’язання.

Матриця квадратичної форми складається для визначення функції від

вектра x x1 ,x2 ,x3 . Якщо доданки квадратичної форми відсутні, це

означає, що відповідні коефіцієнти дорівнюють нулю. Тоді матриця має

виродженою.

В матричному вигляді квадратична форма має вигляд:

16.2. Перетворення квадратичних форм

Знайдемо запис цієї ж функції в деякому іншому базисі E . Нехай U -

матриця переходу від базиса B до базиса E . Координати вектора x в

старому і в новому базисах будуть пов’язані співвідношенням:

Отже, функція f в новому базисі також записується, як квадратична форма, причому матриця A цієї квадратичної форми зв’язана із матрицею А співвідношенням: A

Розв’язання. Матриця переходу до нового базиса має вигляд:

16.3. Квадратичні форми канонічного вигляду

добутків змінних, називають квадратичною формою канонічного

вигляду. Змінні, в яких квадратична форма набуває канонічного вигляду називають канонічними змінними.

Метод Лагранжа зведення квадратичної форми до канонічного вигляду.

Основу метода складає алгоритм послідовного виділення повних квадратів і введення нових відповідних змінних.

◄Приклад 16.3. Методом Лагранжа звести до канонічного вигляду

Канонічний вид, до якого приводиться квадратична форма, визначається неоднозначно: ввевши заміну z1 x1 2x2 ; z2 x2 ми отримали б вигляд

z12 4z22 .

Метод Якобі зведення квадратичної форми до канонічного вигляду

Метод Якобі можна застосовувати лише тоді, коли всі головні мінори матриці квадратичної форми відмінні від нуля. Нехай задано квадратичну

квадратичної форми відмінні від нуля, то існує єдине невироджене однорідне перетворення змінних вигляду:

Це перетворення координат приводить квадратичну форму до канонічного

Будемо розглядати евклідів простір і базиси вибирати ортонормовані. В

цьому випадку матриця переходу U буде ортогональною, а відповідне перетворення буде називатися ортогональним.

Теорема 16.1. При ортогональному перетворенні квадратичної форми характеристичне рівняння його матриці не змінюється.

Доведення. Нехай А – матриця заданої квадратичної форми. При ортогональному перетворенні ця матриця змінюється за формулою

A U T AU , де U -ортогональна матриця, яка має обернену U 1 U T .

Тоді A U 1 AU . Отже, матриці A і A - подібні і їх характеристичні рівняння співпадають. ●

Теорема 16.2. Будь-яку квадратичну форму ортогональним перетворенням можна звести до канонічного вигляду.●

З теореми випливають наступні важливі зауваження:

1)Діагональними елементами матриці A квадратичної форми канонічного вигляду, що отримана ортогональним перетворенням, є власні числа матриці А квадратичної форми. Це означає, що ми можемо записувати матрицю A канонічного вигляду, не шукаючи відповідне перетворення.

2)При відшуканні ортогонального перетворення, що зводить квадратичну форму до канонічного вигляду, ми відшукуємо базис з власних векторів відповідного самоспряженого оператора.

перетворенням привести до канонічного вигляду.

Отже, канонічний вигляд нашої квадратичної форми:

формою. І навпаки, для будь-якої квадратичної форми f x в

евклідовому просторі існує такий самоспряжений оператор А, що

f x Ax,x і цей оператор визначений однозначно.

Доведення. 1) Використаємо запис скалярного добутку в ортонормованому базисі і врахуємо самоспряженість:

Ax,x x, Ax xT Ax ,

x - вектор стовпець, А – матриця лінійного оператора А. Отримали координатну форму запису квадратичної форми.

2)Нехай f x - квадратична форма, яка в заданому ортонормованому

базисі має вигляд xT Ax . Візьмемо самоспряжений оператор А, який має матрицю А в ортонормованому базисі. Тоді

записана рівність двох многочленів другого степеня від n змінних. Така рівність можлива лише за умови рівності всіх коефіцієнтів при відповідних доданках, а це означає рівність матриць, а отже, і рівність операторів.●

16.5. Закон інерції