Конспект лекцій_лінійна алгебра / lek12_linalg

8)1 v v .

Елементи лінійного простору називають векторами незалежно від їх

протилежним до вектора v .

Приклади лінійних просторів

Для того, щоб з’ясувати чи є деяка множина лінійним простором відносно запроваджених на ній операцій і , необхідно перевірити виконання аксіом.

Лінійними є:

1)множина що містить лише нуль-вектор;

2)множина дійсних чисел;

3)множина n-вимірних векторів;

4)множина всіх геометричних векторів в просторі з початком в заданій точці і паралельних заданій площині;

5)множина всіх матриць m n , елементами яких є дійсні числа.

12.2. Базис лінійного простору

Базисом n― вимірного простору V називають будь-яку лінійно незалежну

Базисом скінченної системи векторів називають не порожню лінійно незалежну її підсистему, через вектори якої виражається кожен вектор цієї системи.

Операції над векторами у вибраному базисі можна замінити операціями над їх координатами.

◄Приклад 12.4. Показати, що в R3 система векторів

незалежними. Складемо матрицю з координат векторів і знайдемо її ранг:

x1 2x2 2x3 x4 0

x1 3x2 x3 4x4 0 , множина розв’язків якої утворює лінійний

2x1 5x2 3x3 5x4 0

простір. Знайти розмірність цього простору і будь-який базис в ньому.

Розв’язання.

Розв’яжемо систему методом Гауса – Жордано:

може бути представлений у вигляді лінійної комбінації цих векторів. Вектори f1 , f2 утворюють базис в лінійному просторі розв’язків системи, що розглядається. Розмірність цього лінійного простору дорівнює 2 – кількості векторів в базисі.►

1i

Або в матричному вигляді: ci B ... , або, для всіх векторів: C BU , де

ni

11 ... 1n

U ............ . Матрицю U називають матрицею переходу від старого

n1 ... nn

базису B до нового базису C . Згідно даному визначенню, i-ий стовпчик матриці переходу є стовпчик координат i-ого вектора нового базису в старому. Тому кажуть, що матриця переходу складається з координат векторів нового базису в старому, що записані стовпчиками.

Властивості матриці переходу.

1.Матриця переходу невироджена і завжди має обернену матрицю.

2.Якщо в n-вимірному просторі L задано базис B , то для будь-якої

невиродженої квадратної матриці U існує такий базис C в цьому ліній-

ному просторі, що U буде матрицею переходу від базису B до базису C .

◄Приклад 12.8. Нехай B = b1 ,b2 ,b3 - базис лінійного простору. Тоді

3.Якщо U – матриця переходу від старого базиса до нового, то U 1 -

матриця переходу від нового базису до старого.

4.Якщо в лінійному просторі задано базиси B,C, D , причому U –

матриця переходу від базиса B до базису C , а V – матриця переходу від базиса C до базиса D , то добуток цих матриць UV – матриця переходу від базиса B до базиса D .

Дослідимо, як перетворюються координати довільного вектора в ліній-ному просторі при переході від старого базиса до нового. Виберемо довільний

вектор x L . Його розкладання за старим базисом: x x1b1 ... xnbn або

x1

x... . Розклад того самого вектора в новому базисі матиме вигляд:

xn

Згідно теореми про єдиність розкладання вектора за даним базисом, маємо:

x Ux або x U 1x . Отже, щоб отримати координати вектора в старому

базисі, необхідно стовбець координат цього вектора в новому базисі помножити зліва на матрицю переходу від старого базиса до нового.

12.4. Лінійний підпростір

1)якщо vi ,i 1,m ―елементи підпростору U , то і будь-яка лінійна

комбінація цих векторів буде елементом підпростору U ;

2)підпростір U є лінійним простором.

◄Приклад 12.1. Довести, що в лінійному просторі V 3 вільних векторів тривимірного простору лінійні підпростори утворюють: а) всі вектори, що паралельні заданій площині; б) всі вектори, що паралельні заданій прямій.

Розв’язання.

а) Перше твердження випливає з означення суми вільних векторів: вектори a

, b і a b - компланарні. Тому, якщо a , b паралельні деякій площині, то і a b буде паралельний цій площині. Якщо деякий вектор a помножити на число 0, то отримаємо вектор, що компланарний заданому і знову отримаємо вектор, що буде паралельний заданій площині.

Аналогічні міркування стосуються і випадку б).►

◄Приклад 12.2. В лінійному просторі C 0,1 всіх функцій, що неперервні на відрізку 0,1 знайти і описати можливі лінійні підпростори.

Розв’язання. Можна виділити наступні лінійні підпростори: а) множину функцій, неперервних на 0,1 і неперервно диференційованих в інтервалі

0,1 ; б) множину всіх многочленів. Зауважимо, що множина всіх монотонних функцій, що неперервні на 0,1 є підмножиною множини

C 0,1 але неє лінійним підпростором, оскільки сума двох монотонних функцій може не бути монотонною.►

12.5. Розмірність лінійного підпростору

Лінійний підпростір має розмірність та базис.

Теорема 2.4. Якщо H - лінійний підпростір лінійного простору

H є базисом і в L , то dim H dim L і зрозуміло, що в цьому випадку

H L. Якщо базис в H не є базисом в L , то існує такий вектор x L ,

який не є лінійною комбінацією векторів цього базиса. В цьому випадку лінійний підпростір не може співпадати із простором L . Додамо вектор x до векторів базису в H . Це означає, що в L знайдено більше лінійно

незалежних векторів, ніж . З цього випливає, що

З теореми випливає, що будь-який базис лінійного підпростору H

лінійному просторі L можна розширити, додавши вектор так, що розширена система векторів залишається лінійно незалежною. Отже, будь-який базис