Класичний метод диференційованого числення

Як­що ві­до­мий ви­раз y=f(x₁, x₂, …, x_n), при цьо­му фун­к­ція f має безупин­ні частинні по­хі­д­ні, то ви­зна­чив частинні по­хі­д­ні і при­рі­в­ня­в­ши їх до ну­ля, роз­в'я­за­в­ши отри­ма­ну си­с­те­му рі­в­нянь, одер­жи­мо рі­шен­ня поста­в­ле­ної за­да­чі.

Проте, незважаючи на простоту, даний метод має недоліки:

­­­­­­­ при ве­ли­ко­му чи­с­лі змін­них (n) роз­в'я­зан­ня стає скла­д­ним че­рез ве­ли­ку кіль­кість рі­в­нянь;

умо­ва рі­в­но­с­ті ну­лю частинних по­хі­д­них є не­об­хід­ною, але не­до­ста­т­ньою умо­вою ек­с­т­ре­му­му, то­му що мо­жуть бу­ти то­ч­ки ти­пу сі­д­ло;

ме­тод не дає рі­шен­ня, як­що во­но зна­хо­ди­ть­ся не усе­ре­ди­ні, а на ме­жі об­ла­с­ті;

оп­ти­мі­зо­ва­на фун­к­ція по­вин­на бу­ти безупин­ною і ма­ти пер­шу і дру­гу по­хі­д­ні;

оптимізовані параметри x_i повинні бути незалежні.

Метод множників Лагранжа

Не­хай ві­до­ма ці­льо­ва фун­к­ція y=f(x₁, x₂, …, x_n). При цьо­му ві­до­мо, що па­ра­ме­т­ри, що оп­ти­мі­зу­ють, x₁, x₂, …, x_n по­в'я­за­ні між со­бою умо­ва­ми, тобто є за­ле­ж­но­с­ті між ни­ми

_k(x₁, x₂, …, x_n)=0 k= 1, 2, …, m.

Кла­си­ч­ний ме­тод ди­фе­ре­н­ці­йо­ва­но­го чи­с­лен­ня не мо­ж­на ви­ко­ри­с­то­ву­ва­ти. Знайти оп­ти­маль­не рі­шен­ня в да­но­му ви­пад­ку мо­ж­на, ви­ко­ри­с­то­ву­ю­чи ме­тод мно­ж­ни­ків Ла­г­ра­н­жа, що по­ля­гає в то­му, що бу­ду­є­мо но­ву ці­льо­ву фун­к­цію ви­ду

де _i – невизначені множники Лагранжа.

Потім для знаходження оптимальної функції необхідно вирішити систему.

Перевага: можливість вирішити задачу оптимізації при наявності додаткових зв'язків між параметрами , що оптимізують.

Недолік: із зростанням m система різко зростає.

Дослідження унімодальних функцій

Фун­к­ція од­ні­єї змін­ної, що має в ін­тер­ва­лі до­слі­джен­ня один горб (за­па­ди­ну), на­зи­ва­є­ть­ся уні­мо­даль­ною фун­к­ці­єю. Уні­мо­даль­на фун­к­ція нео­бо­в'яз­ко­во по­вин­на бу­ти глад­кою. Мо­же бу­ти ла­ма­ною, не­ди­фе­ре­н­ці­йо­ва­ною, роз­ри­в­ною, у де­яких то­ч­ках не­ви­зна­че­ною.

По­пе­ре­дні ме­то­ди за­сто­су­ва­ти не мо­ж­на. То­му за­сто­со­ву­ю­ть­ся чи­се­ль­ні ме­то­ди. Як­що фун­к­ція уні­мо­даль­на, то мо­ж­на, посту­по­во зву­джу­ю­чи ін­тер­вал до­слі­джен­ня шля­хом ана­лі­зу зна­чен­ня фун­к­ції злі­ва і спра­ва від то­ч­ки ­по­ді­лу ін­тер­ва­лу, знайти рі­шен­ня за­да­чі з за­да­ною то­ч­ні­с­тю. Для рі­шен­ня за­дач зна­хо­джен­ня оп­ти­маль­но­го зна­чен­ня уні­мо­даль­ної фун­к­ції ви­ко­ри­с­то­ву­ю­ть­ся де­тер­мі­но­ва­ні (ви­зна­че­ні) ме­то­ди, що вра­хо­ву­ють ре­зуль­та­ти по­пе­ре­дніх кро­ків. До них від­но­ся­ть­ся ме­то­ди по­ло­вин­но­го ­по­ді­лу (ди­хо­то­мії), чи­сел Фі­бо­на­чі, зо­ло­то­го пе­ре­ти­ну.

у

у

у

у

х

х

х

х

Метод половинного поділу

По­ля­гає в то­му, що ін­тер­вал по­шу­ку оп­ти­маль­но­го зна­чен­ня уні­мо­даль­ної фун­к­ції y=f(x) ді­ли­мо на­в­піл. Ви­зна­ча­є­мо зна­чен­ня фун­к­ції злі­ва і спра­ва від то­ч­ки по­ді­лу, тобто f(x+₁) и f(x-₁).

x-₁

x+₁

у

x-₁

x+₁

а х х, b₁ b x

₁ – деякий мала величина, що менше необхідної точності розв'язання задачі.

Як­що зна­чен­ня фун­к­ції спра­ва від то­ч­ки роз­по­ді­лу біль­ше зна­чен­ня фун­к­ції злі­ва від то­ч­ки роз­по­ді­лу, тобто f(x+₁) > f(x-₁), то при по­шу­ку ма­к­си­маль­но­го зна­чен­ня за­ли­ша­є­мо ін­тер­вал [x,b], іна­к­ше – ін­тер­вал [а,x]. У на­шо­му ви­пад­ку ін­тер­вал [а,x]. По­зна­чи­мо йо­го [а,b₁]. Про­це­ду­ра по­вто­рю­є­ть­ся до­ти, по­ки

| b_n – a_n | <

Виходячи з того, що

можна визначити кількість ітерацій n, що необхідно виконати для одержання рішення з заданою точністю .

Гідність:

1. простота алгоритму і програми;

2. до­зво­ляє лег­ко ви­рі­ши­ти за­да­чу на ЕОМ, тому що алгоритм являє собою послідовність однотипних операцій;

3. на від­мін­ность від ме­то­ду пря­мо­го пе­ре­бо­ру, у яко­му ефе­к­ти­в­ність по­шу­ку пря­мо про­по­р­цій­на чи­с­лу іте­ра­цій, у ме­то­ді ди­хо­то­мії зі збіль­шен­ням n ін­тер­вал зме­н­шу­є­ть­ся по екс­по­не­н­ці­аль­но­му за­ко­ну.

Недолік: довго виконується.