Целочисленное программирование.

Во многих задачах которые представляются как задачи линейного программирования. Добавляются дополнительные требования, чтобы переменная были целыми числами. Теоретически это значит что решение выбираются не из всей области допустимых решений, а представляет собой отдельные точки этой области.

Существует ряд методов целочисленного программирования из которой часто используются Тамори. Этот метод основан на применении симплекс метода с помощью которого находятся оптимальные решения без учета дискретности. Если полученное решение не является целым, то вводится новое ограничение через точки ближайшие к полученному оптимальному решению без учета дискретности. Далее решение опять задаются оптимумы до тех пор пока вершина не будет целочисленной.

Квадратичное программирование.

Целевая функция представляет собой , а ограничение представляют собой обычные линейные неравенства.

Для решения такой задачи используется выпуклый симплекс метод, в котором в качестве переменных симплекс-таблице используется градиент целевой функции в некоторой точке В.

В основном выпуклый симплекс метод совпадает с основным симплекс-методом. Также и оценивается полученный текущий ? по оценочной строке. Геометрически выпуклый симплекс-метод отличается от обычного. В отличии от симплекс-метода при поиске оптимального решения производится вдоль границы области, перебирая отдельные вершины. В данном случае движение может осуществляться внутри области параллельно ее границам, таким образом находится оптимальное решение.

Рисунок

Решение нелинейных задач без ограничений.

Если целевая функция от искомых оптимизирующих переменных является произвольного вида, то при отсутствии ограниченный поиск максимума или минимума ее может выполняться следующими способами:

1)итерационный метод;

2)градиентный метод;

3)найскорейшего спуска;

4)метод Ньютона.

Решение задач нелинейного программирования с ограничениями.

Наличие ограничений создает определенные трудности при решении задач, в том числе за основу можно использовать выше перечисленные методы, однако после каждой итерации необходимо выполнить проверку: находится ли полученная точка внутри области.

если требуется равенство нулю.

.

В том случае, если в результате итерационного шага, выполненного по одному из методов, мы выходим за пределы допустимой области, следует двигаться вдоль границы области до тех пор, пока не будет найдено требуемое решение.

Методы штрафов и барьеров.

В тех случаях, когда целевая функция и ограничения являются нелинейными – по отношению к искомым переменным , то в общем случае решить задачу трудно. Если функциивыпуклые и дифференцируемы, то данную задачу можно преобразовать в виде решения последовательности задач: нахождение максимума функциибез ограничений. Для этого новая целевая функция

некоторая функция на практике мы заменяем:некоторым большим числом.

Рисунок.

Согласно методу штрафов функция изменяет исходную функцию

.

Здесь – некоторая константа, которая изменяет свое значение с каждой итерацией и исключая влияния добавки новой целевой функции. Например– нарушенное ограничение прито есть в методе штрафов путем решения послед-й задач из ? области приближаемся к исходному решению. Процесс вычисления прекращается если разницаи так далее.

Метод барьеров отличается тем, что накладывается метод на выход из допустимой области. Добавка вычисляется - , то есть движения к оптимальным решениям осуществляется из точки внутри области, путем решения последовательности задач без ограничений.