Рекуррентная формула вычисления ????? ряда и суммирование

sin x =

Получаем приближенный результат.

Структурной схемой (или просто схемой) алгоритма называется графическое изображение последовательности действий вычислительного процесса.

В структурной схеме каждое действие заключается в определенный геометрический символ (блок).

Начало, ????

V Реализация метода вычислений.

Вычисления по алгоритмам осуществляются с помощью различных вычислительных средств.

При ручном (непосредственном) счете обычно используются простейшие вычислительные средства: логарифмическая линейка, таблица, механические, электрические, электронные клавишные вычислительные машины без программного управления и т. п. Промежуточные результаты действий алгоритма следует записывать в специальный расчетный блок.

Наличие вычислительной машины с программным управлением (мини, микро – ПЭВМ, в том числе микрокалькуляторов с ?????) позволяет реализовать вычисления автоматически, под руководством программы. Может быть готовая программа, а если есть особенности – по разработанному алгоритму нужно составлять программу.

Существенным является контроль вычислений, который проводят по так называемому контрольному примеру. Результат контрольного примера либо очевиден, либо его заранее находят каким-либо другим способом. При ручном счете контроль рекомендуется проводить поэтапно. При расчетах на ЭВМ по составленной программе контрольный пример заранее просчитывают вручную.

Последним этапом решения прикладной задачи является выдача конкретных рекомендаций на основании данных расчета.

Понятие о приближенных вычислениях и погрешностях.

Виды погрешностей при решении задач на ЭВМ [2 стр. 42]

При решении инженерных задач на любых вычислительных машинах расчеты, как правило, производятся над приближенными исходными данными. В таких случаях необходимо уметь грамотно организовать вычисления, знать, какие бывают ошибки, правильно записывать приближенные исходные данные, оценивать ошибку результата по известным ошибкам компонент, определять оптимальное количество знаков (разрядов) в исходных данных, чтобы результат вычислений имел наперед заданную точность, выбрать наиболее рациональный порядок вычислений, а также алгоритм вычислений устойчивый к ошибкам округлений.

Не имея достаточных навыков практических вычислений, можно при решении задач получить результат, не имеющий ничего общего с действительным решением задачи.

Ознакомимся с основными понятиями теории погрешностей.

Основные источники погрешностей приближенного решения прикладных задач следующие.

Погрешность (П) математической модели. Она связана с физическими допущениями, не контролируется в процессе численного решения задачи и может уменьшаться только за счет более точного описания физической задачи.

Погрешность исходных данных. Значения параметров, входящих в математическое описание задачи, измеряются экспериментально с некоторой погрешностью.

Погрешность математической модели и исходных данных называют неустранимой. Ее необходимо учитывать при выборе метода решения задачи.

Погрешность приближенного метода. При численном решении задачи точный оператор, в котором количество чисел или операций превышает допустимые границы, заменяется приближенным, требующим конечного количества операций. Например, заменяют интеграл суммой, функцию – многочленом или строят бесконечный итерационный процесс и обрывают его после конечного числа итераций. Эту погрешность будем исследовать при рассмотрении конкретных численных методов.

Вычислительная погрешность, возникающая в результате вынужденного округления чисел, например, конечного числа разрядов ЭВМ.

Если решение некоторой задачи непрерывно зависит от входных данных, то есть малому изменению входных данных соответствует малое изменение решения, то задача называется устойчивой по входным данным. В устойчивом вычислительном алгоритме ошибки округления не накапливаются.

Рассмотрим общие правила действий над приближенными числами и оценки получающихся при этом погрешностей.

Абсолютная и относительная погрешности

Точность приближенного числа характеризуется понятиями абсолютной и относительной погрешности.

Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется величина  = /A - a/,

где A – точное значение некоторой величины,

а – одно из его приближенных значений.

Абсолютная погрешность  представляет только теоретический интерес, поскольку точное значение А не известно. Поэтому на практике чаще всего пользуются предельной абсолютной погрешностью а приближенного числа а, равной по возможности наименьшему числу, для которого выполняется неравенство

 = /А - а/  а

Значения а и а позволяют указать интервал, содержащий точное значение А:

а - а  А а + а