Методы моделирования
В настоящее время при проектировании сложных систем применяют методы аналитического, численного, имитационного (алгоритмические – содержащие описание в виде алгоритма), натурного и полунатурного моделирования.
Аналитические методы – состоят в преобразовании символьной информации, записанной на языке математического анализа. При использовании аналитических методов строится математическая модель объекта, описывающая его физические свойства с помощью математических соотношений, например, в виде дифференциальных или интегральных уравнений. Наиболее часто для разработки САПР.
Численные методы основываются на последовательности действий над числами, приводящей к получению требуемых результатов. При наличии математической модели исследуемых объектов, применение численных методов сводится к замене математических операций и отношений соответствующими операциями над числами: замене интегралов суммами, производных – разностными отношениями, бесконечных сумм – конечными. В результате этого строиться алгоритм, позволяющий точно или с допустимой погрешностью вычислять значения требуемых величин на ЭВМ. Численные методы по сравнению с аналитическими позволяют решать значительно более широкий круг задач, но при этом полученные решения носят частный характер.
Методы имитационного моделирования находят широкое применение для получения моделей, представляющих собой содержательное описание объектов исследования в виде алгоритмов. В описаниях отражаются как структура исследуемых систем, что достигается отождествлением элементов систем с соответствующими элементами алгоритмов, так и процессы функционирования систем во времени, представляемые в логико-математической форме. При этом описания объектов исследования имеют алгоритмический характер, а сами модели – программы для ЭВМ. Модели такого типа называют имитационными или алгоритмическими.
Особенность данного подхода к моделированию заключается в том, что используемые для построения модели алгоритмические языки – гораздо более гибкое и доступное средство описания сложных систем, чем язык математических функциональных отношений. Благодаря этому в имитационных моделях сложных систем находят отражение многие детали их структуры и функций, которые вынужденно опускаются или утрачиваются в математически строгих моделях.
Широко используется приближенный численный метод анализа имитационных моделей – метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). Это называется статистическим моделированием, которое представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Используются в данном случае методы математической статистики. Позитивное свойство статистического моделирования – универсальность, гарантирующая принципиальную возможность анализа систем любой сложности с любой степенью детализации изучаемых процессов.
Недостаток статистического моделирования – трудоемкость процесса моделирования, то есть необходимость выполнения большого количества операций над числами. Применяется метод статистического моделирования – для проектирования сложных систем, когда реальный эксперимент невозможен.
Натурным моделированием называют проведение исследований на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. При функционировании объекта в соответствии с поставленной целью удается выявить закономерности протекания реального процесса. Такое моделирование обладает высокой достоверностью. Метод натурного моделирования базируется на измерении характеристик процессов, происходящих в реальных системах, и обработке результатов измерения с целью выявления представляющих интерес зависимостей. Результаты носят частный характер.
Полунатурное проектирование с объектов осуществляют с использованием их комбинированных моделей. В структуру таких моделей включают математические соотношения, описывающие функционирование ряда подсистем (объектов), а так же реальные элементы (подсистемы), являющиеся его составляющими. В процессе исследования комбинированных моделей может быть достигнуто оптимальное взаимодействие между натурным и вычислительным экспериментами. Этот метод моделирование эффективно применяют при проектировании разнообразных автоматизированных и автоматических управляющих систем, нередко состоящих из элементов различной физической природы. Эти методы удачно сочетают в себе достоинства математического и натурного моделирования.
Ведение в численные методы
Математическое моделирование и вычислительный эксперимент.
Схема вычислительного эксперимента [7]
Эффективное решение крупных естественнонаучных задач и н/х задач сейчас невозможно без применения быстродействующих ЭВМ. В настоящее время выработалась технология использования сложных проблем, основанная на построении и анализе с помощью ЭВМ математических моделей изучаемого объекта. Такой метод исследования называется вычислительным экспериментом.
Пусть требуется исследовать какой-то физический объект, явление, процесс. Тогда схема вычислительного эксперимента будет выглядеть так
I Объект
исследования II Математическая
модель III Численный
метод (дискретная модель и вычислительный
алгоритм)
IV Программирование
для ЭВМ V Проведение вычислений
и анализ результатов
Схема вычислительного эксперимента.
Формулируются основные законы, управляющие данным объектом исследования (I) и строится соответствующая математическая модель (II), представляющая обычно запись этих законов в форме системы уравнений (алгебраических, дифференциальных, интегральных и т.д.)
При выборе физической сложной математической модели мы пренебрегаем факторами не оказывающими существенного влияния на ход изучаемого процесса. Типичные математические модели, соответствующие физическим явлениям, формулируются в виде уравнений математической физики. Большинство реальных процессов (объектов) описывается нелинейными уравнениями и лишь в первом приближении (при малых значениях параметров, малых отклонениях от равновесия и др.) эти уравнения заменить линейными.
После формулировки задачи в математической форме, необходимо найти ее решение. Что это значит? (решить математически задачу) Только в исключительных случаях удается найти решение в явном виде, например в виде ряда. Иногда утверждение, что задача решена означает, что доказана единственность решения. Для практических задач это не достаточно. Необходимо еще изучить качественное поведение решения и найти те или иные количественные характеристики.
Именно на этом этапе требуется применение ЭВМ и численных методов. (III)
Под численным методом понимается такая интерпретация математической модели («дискретная модель»), которая доступна для реализации на ЭВМ. Результатом реализации численного метода на ЭВМ является число или таблица чисел.
Чтобы реализовать численный метод, необходимо составить программу для ЭВМ (IV) или воспользоваться готовой программой. После отладки программы наступает этап проведения вычислений и анализа результатов (V). Полученные результаты изучаются с точки зрения их соответствия исследуемому явлению и при необходимости вносятся исправления в численный метод и уточняется математическая модель.
Такова в общих чертах схема вычислительного эксперимента. Его основу составляет триада: модель – метод (алгоритм) – программа. Опыт решения крупных зада показывает, что метод математического моделирования и вычислительный эксперимент соединяют в себе преимущества традиционных теоретических и экспериментальных методов исследования. Можно указать такие крупные области применения вычислительного эксперимента, как энергетика, аэрокосмическая техника, обработка данных натурного эксперимента, совершенствование технологических процессов.
Вычислительный алгоритм
Будем рассматривать один из этапов вычислительного эксперимента, а именно этап построения и исследования численного метода.
Этапы решения задач численными методами [2]
Большинство прикладных задач (инженерных, экономических, биологических и др.), результат которых должен представлять числовую информацию, сводится к математическим, решаемым различными вычислительными методами. Последовательность реализации таких задач можно представить в виде следующих этапов:
Постановка задачи.
Математическая модель (формулировка) задачи.
Выбор вычислительного метода.
Изучение (или составление) алгоритма метода.
Реализация алгоритма с помощью различных вычислительных средств.
Анализ полученных результатов.
I Постановка задачи предполагает словесную, содержательную формулировку задачи, условий, при которых она ставится и требований к ее решению. Например:
а) решить квадратное уравнение
б) определить скорость при падении тела, учитывая скорость ??????????
в) найти площадь участка земли
г) выбрать вариант ????????????
II Математическая модель – это математическое описание соотношений постановки задачи. В одних случаях запись математической модели не представляет труда, а в других требуется неоднократное уточнение постановки задачи, выделение определяющих факторов, отбрасывание условий, мало влияющих на результат и т.д.
Раскрыть примеры.
Составление математической модели в прикладной задаче является наиболее сложным и ответственным этапом решения и, как правило, выполняется совместно математиком и специалистов данной области.
III Математическая задача абстрагирована от конкретной сущности прикладной задачи. Для ее решения создаются специальные вычислительные методы, причем к одной и той же модели могут сводится абсолютно разные прикладные задачи.
Для решения задачи:
б) сводится к решению дифференциального уравнения
в) определенный интеграл
г) решение системы линейных неравенств, что в конечном сечете сводится к многократному решению систем линейных уравнений.
Решение математической задачи осуществляется вычислительными методами, причем одни и те же задачи можно решать несколькими методами. Выбор метода для данной задачи – важный элемент процесса решения, существенно влияющий на результат.
Методы вычислений могут быть точные и приближенные.
Точные методы – это такие, которые после конечного числа действий приводят к точному результату при условии, что вычисления проводятся без округления чисел.
Приближенные методы позволяют получить результат с некоторой погрешностью.
При выборе приближенного метода существенными являются объем вычислений, скорость сходимости (как быстро получается результат) и другие факторы.
Выбор метода , в частности, зависит и от исходных данных. Кроме того, на выбор метода влияют средства его реализации (ручной счет, вычислительная машина, наличие готовой программы и т. п.).
Так, если будут использованы быстродействующая ЭВМ и готовая программа, то объем вычислений не должен смущать исполнителя и быть определяющим при выборе метода. При ручном счете предпочтение следует отдать методу, требующему определенных предварительных исследований, но с меньшим числом вычислений
а) точный метод предпочтительнее, но ????????
б) ????
в) ????
г) точно, но для линейных систем высокого порядка они оказываются неэффективны, поэтому обычно используются другие методы.
IV Алгоритмом называется система правил, которая задает строго определенную последовательность операций, приводящих к искомому результату. (точному или приближенному)
Алгоритм – одно из основных понятий математики. Ход решения вычислительной (и вообще любой) задачи должен быть представлен алгоритмом.
Алгоритм можно записать словесно-формульно или в виде схемы.
Так,
словесно-формульное описание алгоритма
имеет следующий вид:
вычислить
вычислить
если D 0, то ??? иначе ???
вычислить x1 и x2
конец вычислений
положить
;
Перейти к 5.