Численное решение дифференциальных уравнений

Трудно решить ДУ в элементарных функциях. При этом численные методы, позволяющие с помощью !!! получить таблицу значений функции в требуемых точках.

Рассмотрим ДУ 1-го порядка, разрешенное относительно производной:

. (1)

Общим решением такого уравнения является семейство функций , зависящее от произвольного постоянного. Чтобы иметь возможность вычислить значение функции-!!! в какой-либо точке х, необходимо выделить из этого семейства частное решение. Это делается с помощью начального условаия вида:

. (2)

Нахождение решения, удовлетворяющего такому условию, называется задачей Коши.

Задача численного решения ДУ 1-го порядка ставится следующим образом: требуется найти построить таблицу значений функции у=(х), удовлетворяющей уравнению (1) и начальному условию (2) на отрезке [a;b] с некоторым шагом h (обычно можно считать, что а=х₀, т.е. начальное условие задано в левом конце заданного отрезка).

Простейшим из численных методов решения (!!!) дифференциальных уравнений является метод Эйлера.

Он обычно применяется только для !!! расчетов, но идеи, положенные в его основу, являются исходными для широкого класса численных методов. Метод Эйлера основан на замене искомой функции многочленом первой степени, т.е. на линейной интерполяции. Впрочем, правильно говорить «на линейной экстраполяции», т.к. речь идет об нахождении значений функции в соседних узлах, а не между узлами.

Выберем шаг h настолько малым, чтобы для всех х между х₀ и х₁=х₀+ h значения функции у мало отличались от линейной функции. Тогда на укзанном интервале:

,

где - значение производной у в точке х=х₀. Таким образом кривая на этом участке заменяется отрезком прямой (касательной к кривой в начале отрезка). Для точки х₁=х₀+ h получим:

.

Для точки х₂=х₁+hможно записать:

.

Продолжая таким же способом строить дальнейшие значения функции, убедимся, что метод Эйлера можно представить в виде последовательного применения формул:

(3)

Геометрический смысл формулы Эйлера ясен из рисунка. Интегральная кривая заменяется ломанной, звенья которой имеют горизонтальную проекцию h. Первое звено касается искомой интегральной кривой в точке (х₀,у₀). Ломанная Эйлера – это кусочно-!!! функция, является приблежением решения задачи на отрезке.

Уменьшение шага интегрирования является эффективным методом повышения точности. Таким образом можно получить достаточно хорошей точности. Но существуют более точные методы.

h часто называют шагом интегрирования (или просто шагом). Приближенные значения искомой функции у=(х) отискиваются в точках деления: .

Пример. .

Легко оформить в виде таблицы:

k	0	1	2	3	4	5
yk	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
yn	1	1	1,02	1,0608	1,124448	1,2144038

Метод Эйлера можно реализовать и графически.

В теории ДУ доказывается, что если функция (х,у), т.е. правая часть уравнения (1) удовлетворяет условиям Коши, то последовательность ломаных Эйлера при неограниченном увеличении числа звеньев (при , а) стремится к определенному пределу у=(х), который является единственным решением задачи Коши (1), (2).

Погрешность при замене у(х) ломаной Эйлера, вычисляемая в точке х_n, имеет порядок илиh. Поэтому чем меньше шаг интегрирования, тем лучше приближенное решение представляет точное. Обычно для оценки точности приближенного решения у_n в точке х_n, полученного с шагом h, повторяют вычисление с удвоенным шагом 2h и абсолютную погрешность (y_n) определяют по формуле:

,

где - приближенное решение в точке х_n при шаге 2h.