matmodeom / MMM_Lek / Інтерп Ньютона2

Інтерполя­ція фун­к­цій по­лі­ном Нью­то­на при вузлах,

що знаходяться на різній відстані один від одного.

Ця формула є різницевим аналогом формули Тейлора, відповідно до котрого:

Інтерполяційна формула Ньютона побудована на основі розділених різниць.

Нехай у вузлах х_k[a,b], k=0,1,2,...,n у точці х₀ задано функцію f(x₀),

х₁ задано функцію f(x₁),

х₂ задано функцію f(x₂),



х_n задано функцію f(x_n).

Розділеними різницями I-го порядку називаються вирази виду

i,j=0,1,2,...,n, ij

…

Маючи розділені різниці I-го порядку, можна одержати розділені різниці II-го порядку

У та­кий спо­сіб ви­зна­ча­ю­ть­ся рі­з­ни­ці більш ви­со­ко­го по­ряд­ку. Так зна­ю­чи роз­ді­ле­ні рі­з­ни­ці k-го по­ряд­ку f(xj,xj₊₁,... ,xj_+k), f(xj₊₁,xj₊₂,... ,xj_+k+1), мо­ж­на одер­жа­ти роз­ді­ле­ні рі­з­ни­ці (k+1)-го по­ряд­ку

При ручних розрахунках розділених різниць зручно користуватися таблицею:

xi	F(xi)	f(xi,xj)	f(xi,j,k)	розділені різниці 3-го порядку
x1	f(x1)
		f(x1,x2)
x2	f(x2)		f(x1,2,3)
		f(x2,x3)		f(x1,2,3,4)
x3	f(x3)		f(x2,3,4)
		f(x3,x4)
x4	f(x4)

Ма­ю­чи по­нят­тя роз­ді­ле­них рі­з­ниць мо­ж­на одер­жа­ти та­кі ін­тер­по­ля­цій­ні фор­му­ли Нью­то­на при ву­з­лах, що знаходяться на різній відстані один від одного. Так пер­ша інтерполяційна фор­му­ла Нью­то­на, тобто ін­тер­по­ля­ція впе­ред, має вид:

Ана­ло­гі­ч­но мо­ж­на одер­жа­ти дру­гу ін­тер­по­ля­цій­ну фор­му­лу Нью­то­на, тобто ін­тер­по­ля­ція то­му:

Похибка обчислення функції з використанням формули Ньютона можна визначити по формулі

 f(x₀)- P_n(x)=(х)f(x₀,x₁,...,x_n), де (х)= (x-x₀)(x-x₁)...(x-x_n)

n-у різницю можна представить

, х₀x_n