Прямой сиплекс-метод

Нехай треба вирішити задачу мінімізації цільової функції

при наявності обмежень

i= 1, 2, …, n x_i0

Вве­де­мо шту­ч­но змін­ні х_n+1, х_n+2, …, х_n+m. При цьо­му за­да­ча пе­ре­тво­ри­ть­ся до ви­ду:

При роз­в'я­зан­ні за­да­чі лі­ній­но­го про­гра­му­ван­ня си­п­ле­к­сом-­ме­то­дом ви­ко­ри­с­то­ву­є­ть­ся, так на­зва­на, си­п­ле­кс-­та­б­ли­ця.

Базис

x1

x2

x3

…

xn

xn+1

xn+2

xn+3

…

xn+m

b

с1

с2

с3

…

cn

0

0

0

0

xn+1

0

a11

a12

a13

a1n

1

0

0

0

b1

xn+2

0

a21

a22

a23

a2n

0

1

0

0

b2

xn+3

0

a31

a32

a33

a3n

0

0

1

0

b3

…

…

…

xn+m

0

am1

am2

am3

amn

0

0

1

1

bm

Оцінний рядок

Формула для обчислення оцінного рядка:

j= 1, 2, …, n+m

критерій, по якому визначаються змінна, що виключається з базису.

a_{l k} > 0 l = 1, 2, .., m

Оцін­ний ря­док ви­зна­чає, чи є да­не рі­шен­ня (ба­зи­с­не) оп­ти­маль­ним. Як­що в оцін­но­му ряд­ку бу­дуть зна­чен­ня біль­ше ну­ля, то цей план не є оп­ти­маль­ним. Пе­ре­хо­ди­мо до кра­що­го рі­шен­ня. Най­біль­ше по­зи­ти­в­не чи­с­ло вка­зує на змін­ну, що вар­то вве­с­ти в ба­зис. Фа­к­ти­ч­но но­мер ці­єї змін­ної до­рі­в­нює k.

ука­зує на змін­ну (най­ме­н­шу з по­зи­ти­в­них), ви­ве­де­ну з ба­зи­су (за­мін­ну).

Вве­ден­ня но­вої змін­ної в ба­зис по­ля­гає в то­му, що за­мість ви­ве­де­ної змін­ної за­пи­су­є­ть­ся змін­на і її ко­е­фі­ці­єнт при ці­льо­вій фун­к­ції. Га­у­сов­сь­ки­ми ви­клю­чен­ня­ми до­ма­га­ю­ть­ся, щоб у ма­т­ри­ці при цій змін­нії, яку уво­дять, бу­ла оди­ни­ця, а в ін­ших ряд­ках при цій змін­ній нуль. По­тім зно­ву об­чи­с­лю­є­мо зна­чен­ня оцін­но­го ряд­ка і пе­ре­ві­ря­є­мо на­яв­ність по­зи­ти­в­них зна­чень.

По­ка­же­мо розв’язування за­да­чі на при­кла­ді.

Ви­рі­ши­ти за­да­чу та­ко­го ви­ду, знайти мі­ні­мум ці­льо­вої фун­к­ції в об­ла­с­ті D, за­да­ної об­ме­жен­ня­ми.

min z=x₁ 3x₂ + 2x₃

D: x_i 0 i= 1, 2, 3

min z = x₁ 3x₂ + 2x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆

Базис		x1	x2	x3	x4	x5	x6	b
		1	3	2	0	0	0
x4	0	3	1	2	1	0	0	7
x5	0	2	4	0	0	1	0	12	3
x6	0	4	3	8	0	0	1	10	3,3
Оц. рядок		1	3	2	0	0	0	0

То­му що в оцін­но­му ряд­ку ма­к­си­маль­не по­зи­ти­в­не чи­с­ло 3, то в ба­зис уво­ди­мо х₂, k=2. З ба­зи­су ви­клю­ча­є­мо х₅ і за­мі­ня­є­мо йо­го х₂, то­му що 3 < 3,3.

Базис		x1	x2	x3	x4	x5	x6	b
		1	3	2	0	0	0
x4	0	2,5	0	2	1	0,25	0	10	4
x2	3	0,5	1	0	0	0,25	0	3
x6	0	2,5	0	8	0	0,75	1	1
Оц. рядок		0,5	0	2	0	0,75	0	9

З оцінного рядка, що потрібно ввести змінну х₁ замість х₄.

Базис		x1	x2	x3	x4	x5	x6	b
		1	3	2	0	0	0
x1	1	1	0	0,8	0,4	0,1	0	4
x2	3	0	1	0,4	0,2	0,3	0	5
x6	0	0	0	0,8	3,6	0,1	1	4,4
Оц. строка		0	0	2,4	0,6	0,8	0	11

То­му що в оцін­но­му ряд­ку не­має по­зи­ти­в­них зна­чень, то рі­шен­ня є оп­ти­маль­ним.

х₁=4 х₂=5 х₃=0 х₄=0 х₅=0 х₆=4,4

z_min = 11