5ДУ

Общее решение уравнения равно

.

Из условия получаем

.

Найдем производную общего решения:

+

Из условия получаем: .

Для определения и имеем систему уравнений

Решая эту систему, получаем

,.

Тогда .

Ответ: .

Задача 35. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Найдем его корни: ; ; .

Общее решение однородного уравнения запишется в виде: .

Стоящая в правой части функция является правой частью второго типа. Имеем

, , =0, =1. Число не является корнем характеристического уравнения, значит . Частное решение ищем в виде = , где - многочлены нулевой степени, поскольку наибольшее из чисел и равно нулю. Тогда =

Найдем :

;

.

Подставляя в уравнение, получаем:

Приравнивая коэффициенты при синусах и косинусах в правой и левой частях уравнения, получаем: 2А=0, 2В=4. Следовательно В=2. Тогда .

Следовательно, общее решение уравнения имеет вид

Задача 36. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Вначале найдем общее решение соответствующего однородного уравнения . Составляем характеристическое уравнение . Найдем его корни: ; ; .

Общее решение однородного уравнения запишется в виде: .

Исходное уравнение имеет правую часть первого типа: , , . Число не встречается среди корней характеристического уравнения, значит кратность s=0. Будем искать в виде =, где - многочлен третьей степени. Тогда =. Коэффициенты А , В и С определим из условия, чтобы частное решение удовлетворяло исходному уравнению. Найдем :

;

;

.

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

+=

Приводим подобные в левой части уравнения:

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем:

Следовательно А=1, В=0, С=1. Тогда частное решение запишется в виде =.

Следовательно, общее решение исходного уравнения равно:

+.

Задача 37. Найти решение системы дифференциальных уравнений удовлетворяющее начальным условиям x(0)=2, y(0)=1.

Продифференцируем первое уравнение. Получаем

.

Подставим в полученное уравнение значение , взятое из второго уравнения системы. Получаем

; ;

.

Из первого уравнения системы выразим : .

Тогда уравнение можно переписать в виде

. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции . Приводя подобные, запишем его в виде

+.

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

; ; .

Решение дифференциального уравнения имеет вид

, где - произвольные постоянные.

Найдем . Так как , то, подставляя , получаем:

;

.

Тогда общее решение системы имеет вид:

;

.

Где - произвольные постоянные.

Используя начальные условия, найдем произвольные постоянные.

Так как x(0)=2, y(0)=1, то для определения имеем систему уравнений:

Решая систему, получаем

Ответ: ,

.

Литература

1.Я.С.Бугров, С.М.Никольский. Высшая математика том 3. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Изд. 5-е, стереотип. «Дрофа» М., 2003 г.

2.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, тт. 1-2, М., Наука, 2000 г.

3.В.А. Ильин, А.В. Куркина. Высшая математика. Изд-во МГУ, М., 2004г.

4.Б.П.Демидович. Сборник задач по математическому анализу. Изд-во «АСТ Астрель», М., 2003 г.

5.Катасонов А.М. Дифференциальные уравнения. Программированное учебное пособие. МГАПИ, М., 1997.

6. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Изд-во МГУ, М., 2004г.