
4ДУ
.doc
Из условия
получаем:
.
Следовательно
Тогда
=
Ответ:
.
7. Решение систем линейных дифференциальных уравнений.
Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида
Задачей Коши для системы дифференциальных уравнений называется задача нахождения частного решения указанной системы, удовлетворяющего условиям
,
,…..,
при
.
Одним из методов решения систем дифференциальных уравнений, является метод исключения, который позволяет систему n дифференциальных уравнений первого порядка свести к одному дифференциальному уравнению порядка n.
Задача 24. Найти решение системы дифференциальных уравнений
удовлетворяющее
условиям
Продифференцируем первое уравнение. Получаем
.
Подставим в
полученное уравнение значение
,
взятое из второго уравнения системы.
Получаем
;
;
.
Из первого уравнения
системы выразим
:
.
Тогда уравнение
можно переписать в виде
.
Данное уравнение является линейным
дифференциальным уравнением второго
порядка для определения неизвестной
функции
.
Приводя подобные, запишем его в виде
+
.
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
;
;
.
Решение дифференциального уравнения имеет вид
,
где
- произвольные постоянные.
Найдем
.
Так как
,
то, подставляя
,
получаем:
;
.
Тогда общее решение системы имеет вид:
;
.
Где
- произвольные постоянные.
Используя начальные условия, найдем произвольные постоянные.
Так как
,
то для определения
имеем систему уравнений:
Решая систему,
получаем
Ответ:
,
.
Задача 25. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
Продифференцируем первое уравнение. Получаем
.
Подставим в
полученное уравнение значение
,
взятое из второго уравнения системы.
Получаем
;
.
Из первого уравнения
системы выразим
:
.
Тогда уравнение
можно переписать в виде
.
Данное уравнение является линейным
дифференциальным уравнением второго
порядка для определения неизвестной
функции
.
Приводя подобные, запишем его в виде
.
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
;
.
Решение дифференциального уравнения имеет вид
,
где
- произвольные постоянные.
Найдем
.
Так как
,
то, подставляя
,
получаем:
;
.
Тогда общее решение системы имеет вид:
;
.
Где
- произвольные постоянные.
Ответ:
;
.
Задача 26. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений
Продифференцируем первое уравнение. Получаем
.
Подставим в
полученное уравнение значение
,
взятое из второго уравнения системы.
Получаем
;
;
.
Из первого уравнения
системы выразим
:
.
Тогда уравнение
можно переписать в виде
.
Данное уравнение является линейным
дифференциальным уравнением второго
порядка для определения неизвестной
функции
.
Приводя подобные, запишем его в виде
.
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
;
;
.
Решение дифференциального уравнения имеет вид
,
где
- произвольные постоянные.
Найдем
.
Так как
,
то, подставляя
,
получаем:
.
Тогда общее решение системы имеет вид:
;
.
Где
- произвольные постоянные.
Ответ:
;
.