4ДУ

Из условия получаем: . Следовательно

Тогда

=

Ответ: .

7. Решение систем линейных дифференциальных уравнений.

Нормальной системой дифференциальных уравнений называется система вида

Задачей Коши для системы дифференциальных уравнений называется задача нахождения частного решения указанной системы, удовлетворяющего условиям

, ,….., при .

Одним из методов решения систем дифференциальных уравнений, является метод исключения, который позволяет систему n дифференциальных уравнений первого порядка свести к одному дифференциальному уравнению порядка n.

Задача 24. Найти решение системы дифференциальных уравнений

удовлетворяющее условиям

Продифференцируем первое уравнение. Получаем

.

Подставим в полученное уравнение значение , взятое из второго уравнения системы. Получаем

; ;

.

Из первого уравнения системы выразим : .

Тогда уравнение можно переписать в виде

. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции . Приводя подобные, запишем его в виде

+.

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

; ; .

Решение дифференциального уравнения имеет вид

, где - произвольные постоянные.

Найдем . Так как , то, подставляя , получаем:

;

.

Тогда общее решение системы имеет вид:

;

.

Где - произвольные постоянные.

Используя начальные условия, найдем произвольные постоянные.

Так как , то для определения имеем систему уравнений:

Решая систему, получаем

Ответ: ,

.

Задача 25. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Продифференцируем первое уравнение. Получаем

.

Подставим в полученное уравнение значение , взятое из второго уравнения системы. Получаем

;

.

Из первого уравнения системы выразим : .

Тогда уравнение можно переписать в виде

. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции . Приводя подобные, запишем его в виде

.

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

; .

Решение дифференциального уравнения имеет вид

, где - произвольные постоянные.

Найдем . Так как , то, подставляя , получаем:

;

.

Тогда общее решение системы имеет вид:

;

.

Где - произвольные постоянные.

Ответ: ;

.

Задача 26. Найти общее решение системы дифференциальных уравнений

Продифференцируем первое уравнение. Получаем

.

Подставим в полученное уравнение значение , взятое из второго уравнения системы. Получаем

; ;

.

Из первого уравнения системы выразим : .

Тогда уравнение можно переписать в виде

. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка для определения неизвестной функции . Приводя подобные, запишем его в виде

.

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

; ; .

Решение дифференциального уравнения имеет вид

, где - произвольные постоянные.

Найдем . Так как , то, подставляя , получаем:

.

Тогда общее решение системы имеет вид:

;

.

Где - произвольные постоянные.

Ответ: ;

.

35