
2ДУ
.doc
Подберем функцию
из условия:
.
(Это уравнение для
определения функции
является уравнением с разделяющимися
переменными и нас интересует не его
общее решение, а какое либо частное
решение не тождественно равное нулю).
Тогда для определения
имеем уравнение
.
Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными и способ его решения изложен ранее.
Задача 11. Найти решение задачи Коши:
,
.
Вначале найдем
общее решение этого уравнения. Будем
искать
в виде
.
Тогда, подставляя
и
в
исходное уравнение, получим:
.
Функцию
определяем из условия:
;
;
;
;
.
Определим
:
;
;
+С;
;
.
Следовательно, общее решение имеет вид
.
Из условия
определяем произвольную постоянную С:
;
.
Ответ:
.
Задача 12. Найти решение задачи Коши:
,
.
Данное уравнение
является уравнением Бернулли. Будем
искать
в виде
.
Тогда, подставляя
и
в
исходное уравнение, получим:
.
Функцию
определяем из условия:
;
;
;
;
.
Определим
:
;
;
+С;
;
.(
Знак плюс при извлечении квадратного
корня выбран исходя из начальных
условий). Следовательно, общее решение
имеет вид
.
Из условия
определяем произвольную постоянную С:
;
Ответ:
.
Задача 13. Найти решение задачи Коши:
,
.
Вначале найдем
общее решение этого уравнения. Будем
искать
в виде
.
Тогда
.
Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем:
;
.
Функцию
определяем из условия:
,
;
;
;
.
Определим
:
;
;
.
Интегрируем правую и левую части полученного соотношения
.
Приведем схему вычисления полученных интегралов.
.
Для вычисления
сделаем замену переменных
,
,
.
Тогда получаем
Подставляя
полученные интегралы в исходное
выражение, получаем
,
.
Следовательно , общее решение имеет вид
.
Используя начальные условия задачи
Коши, определим С.
Так как
,
то
,
С=0.
Тогда имеем
.
Ответ:
.