III. Элементы теории полей, используемых для магнитного контроля Энергия магнитного поля

При пропускании электрического тока по деталям в намагничивающих катушках происходит взаимодействие отдельных контуров. При этом индуктивность контура L и его мотокосцепление Ψ_L и взаимные индукции:

определяются как отношения соответствующих потокосцеплений Ψ_L, Ψ₂₁, Ψ₁₂ с электрическим током.

Коэффициент взаимной индукции и индуктивность не зависят от величины силы тока и определяются только параметрами контура: конфигурацией, размерами, числом игггков и средой, в которой находится контур, а коэффициент взаимной индукции зависит еще от взаимного расположения контуров.

Исходя из предположения, что сечение провода невелико но сравнению с размерами контура, получим, что магнитное поле кольцевого контура сконцентрировано внутри кольца. Тогда индуктивность одновиткового кольцевого контура в воздухе при D_ср » d может быть определена из уравнения:

где D_ср — средний диаметр кольца; d — диаметр провода.

Для прямоугольной рамки со сторонами а и b индуктивность контура определяется равенством:

где — диагональ рамки, r₀ — радиус сечения рамки.

Индуктивность тороидальной катушки прямоугольного сечения с равномерно распределенной обмоткой может быть определена с помощью равенства:

Электрические дуги при разрыве цепей, прожоги и т.п. неприятные явления при магнитопорошковом контроле зависят от энергии магнитных полей соответствующих контуров.

Магнитное поле тока обладает запасом энергии, мерой которой является работа, затрачиваемая на его создание. Энергия магнитного поля W_M может быть выражена двумя способами: как энергия взаимодействия токов и как энергия поля.

При значении μ = const энергия магнитного поля может быть выражена через индуктивность L. При подключении индуктивной катушки с сопротивлением R и индуктивностью L к источнику напряжения U ток в катушке установится не сразу, а постепенно из-за противодействия ЭДС самоиндукции. Согласно закону Ома можно записать:

Умножив обе части равенства на величину idt, получим

Uidt = i²Rdt + idΨ_L.

Левая часть этого равенства представляет собой полную энергию, отдаваемую источником за время dt. Слагаемое i²Rdt — энергия, выделяющаяся в виде тепла в проводах R за время dt. Слагаемое idΨ_L есть энергия, обусловленная измением потокосцепления и идущая на создание магнитного поля dW_M = idΨ_L. Полная энергия, запасенная в магнитном поле катушки, при изменении потокосцепления от О до Ψ_L составит

Для катушки без сердечника Ψ_L = LI и dΨ_L — Ldi, поэтому

где I — установившееся значение тока в цепи.

Это значение тока установится не сразу, а в течение определенного времени, зависящего от величины индуктивности цепи, по завершении переходного процесса.

Энергия магнитного поля может быть также выражена через величину напряженности магнитного поля Н или индукцию В. Для примера возьмем тороидальный соленоид, который содержит w витков и имеет такие геометрические размеры, при которых выполняется соотношение (R_нар -R_вн) « R_ср.

Индуктивность такого соленоида

Так как энергия магнитного поля распределяется по всему объему, занимаемому полем, то полная энергия магнитного поля соленоида равна:

где V — объем тороидального соленоида, который часто бывает значительно больше объема испытываемой детали.

Если магнитное поле внутри тороида считать однородным, то, поделив это равенство на объем V, получим энергию магнитного поля в единице объема, т.е. плотность энергии однородного магнитного поля

Величина плотности энергии магнитного поля w_M определяет силу и степень взаимодействия магнитного поля с ферромагнетиком, с проводником, по которому протекает электрический ток и другие механические и электрические воздействия при циркулярном намагничивании детали.

Сопряжение поверхностей двух сред с различными магнитными проницаемостями

Ниже приводятся фрагменты теории электромагнитного поля, касающиеся сопряжения разных деталей, по которым протекает один и тот же магнитный поток.

Если линии магнитной индукции пересекают поверхность раздела двух участков магнитной цепи, имеющих различные магнитные проницаемости, под некоторым углом, то линии магнитной индукции в этой зоне изменяют свое, направление.

Найдем общие условия, которым подчиняются составляющие векторов магнитной индукции и напряженности поля на границе двух сред с различными абсолютными магнитными проницаемостями μ₁, и μ₂. Обе среды будем предполагать однородными и изотропными. Пусть θ₁ и θ₂ — углы между направлением линии магнитной индукции и направлением нормали к поверхности раздела в первой и во второй среде (рис. 49).

Рис. 49. Преломление силовых линий на границе двух сред. Составим линейный интеграл вектора Н по контуру abcda, стороны которого ab и cd лежат в разных средах бесконечно близко к поверхности раздела. Имеем:

так как сквозь поверхность, ограниченную контуром интегрирования, не проходит электрический ток. Принимая во внимание, что ab = cd, получаем:

т.е. на поверхности раздела касательные составляющие вектора Н равны.

Представим себе замкнутую поверхность, образованную двумя плоскими поверхностями s₁ и s₂, следы которых в плоскости рисунка суть линии аb и cd, и цилиндрической поверхностью, пересекающейся с плоскостью рисунка по линиям bс и ad. Магнитный поток сквозь эту поверхность равен нулю. Следовательно,

откуда, приняв во внимание, что s₁ = s₂, находим

т.е. на поверхности раздела нормальные составляющие вектора В равны.

Из условий на поверхности раздела для векторов H и В имеем:

где μ₁ и μ₂ — магнитные проницаемости сопрягаемых деталей.

Большое практическое значение для магнитных методов контроля имеет вопрос о характере магнитного поля в воздухе около поверхностей стальных деталей, формы полей над дефектами и т.д. Магнитные проницаемости ферромагнитной среды и воздуха сильно разнятся между собой. Для воздуха практически μ₂ = μ₀. Пусть для ферромагнитной среды μ₁ = 1000μ₀. В таком случае имеем: tgθ₁ = 1000tgθ₂. Если линии магнитной индукции внутри ферромагнитной среды (рис. 50) составляют с нормалью угол θ₁ = 89°, то соответствующий угол в воздухе θ₂ ≈ 3°20'.

Поэтому во всех случаях, когда магнитное поле создается токами, протекающими по проводникам, расположенным в воздухе, практически можно принять θ₂ = 0, т.е. считать, что линии магнитной индукции в воздухе нормальны к поверхностям тел из ферромагнитных материалов.

Рис.50. Преломление силовых линий на границе воздуха и ферромагнитной среды.

Метод зеркальных отображений провода с током

Пусть около бесконечной плоскости, ограничивающей ферромагнитную среду, для которой примем μ = ∞, расположен в воздухе параллельно плоскости провод с током i (рис. 51). Поверхность ферромагнитной среды является поверхностью равного магнитного потенциала, так как линии напряженности поля в воздухе к ней перпендикулярны.

Удалим мысленно ферромагнитную среду, заменив ее током i', являющимся зеркальным отображением в поверхности раздела действительного тока i. Ток i' примем равным току i и имеющим то же направление.

Средняя плоскость между действительным током и его зеркальным отображением, совпадающая с поверхностью раздела, является плоскостью равного магнитного потенциала. Это вытекает хотя бы из того, что линии магнитной индукции, охватывающие оба тока, должны располагаться симметрично относительно этой плоскости, что возможно только тогда, когда они ее пересекают под прямым углом.

Итак, после замены ферромагнитной среды током i' условия на граничной плоскости не изменялись. Остался без изменения и ток i в области действительного поля. Поэтому мы приходим к следующему весьма существенному ныводу: поле прямолинейного тока, проходящего в воздухе паралелъно плоской поверхности массивного тела из ферромагнитного материала, совпадает в воздухе с полем, которое образуется двумя токами — током г и его зеркальным изображением i'= i в поверхности тела в предположении, что ферромагнитная среда удалена.

Основанный на этом положении метод расчета поля называют методом зеркальных отображений. Он удобен для изучения характера намагничивания детали.

Метод зеркальных отображений, может быть распространен на случай любого числа проводников с токами, причем проводники могут иметь сечения любой формы. Этот метод, как и в случае электростатического поля, может быть использован, когда две поверхности, ограничивающие ферромагнитную среду, сходятся под углом α = π/п, где п — целое число, причем угол α отсчитывается в воздухе. Поле при α = π/2 показано на рис. 52.

Рис. 51. Картина магнитного поля Рис. 52. Картина магнитного поля вокруг

провода с током вблизи провода с током, расположенного в углу,

ферромагнитной поверхности. образованном ферромагнитными плоскостями.

Построение картины магнитного поля при полюсном намагничивании

В случае последовательного соединения нескольких деталей, удлинителей, а также при полюсном (см. табл. 5) намагничивании с помощью приставных электромагнитов возникают воздушные зазоры, в которых магнитное поле подобно полям около полюсов электрических машин. Линии магнитной индукции в воздухе около полюсов нормальны к их поверхностям, и, следовательно, поверхности, образующие зазоры, можно считать поверхностями равного магнитного потенциала. Опишем метод построения картины поля в области, не занятой проводниками с токами, создающими поле около тех частей детали, которые выступают за пределы обмоток с током, наложенных на деталь. В данной области пространства поле приближенно можно считать плоскопараллельным, для которого:

1. линии напряженности поля и линии равного магнитного потенциала пересекаются всюду под прямым углом;

2. поверхности ферромагнитных сред следует считать поверхностями равного магнитного потенциала и линии напряженности поля в воздухе следует проводить перпендикулярно к ним;

3. ячейки сетки, образованной линиями напряженности поля и линиями равного потенциала, при достаточной густоте сетки должны быть приблизительно подобны друг другу.

Обозначим средние размеры ячейки сетки в направлении линии напряжености поля через ∆n и в направлении линии равного магнитного потенциала через ∆a. Тогда последнее правило можно выразить в форме:

Путем ряда последовательных приближений удается нарисовать картину поля, удовлетворяющую всем указанным требованиям. На рис. 53 таким способом построена картина ноля около детали при ее полюсном намагничивании.

Если построена картина поля, то из нее может быть кайдено магнитное сопротивление R_M или магнитная проводимость G_M = 1/R_M = Ф/F воздушного промежутка, причем Ф — магнитный поток в рассматриваемом зазоре и F — МДС на длине промежутка. Если т₁ — число трубок магнитной индукции, то

Ф = т₁∆Ф = т₁lμ₀H∆a,

где ∆Ф — поток в одной трубке; l — длина в направлении оси OZ (перпендикулярном плоскости рисунка). Если m₂ — число интервалов между соседними линиями равного потенциала, то F = m₂∆U_М ⁼ m₂H∆n, где ∆U_M — изменение потенциала на протяжении одного интервала.

Рис. 53. Построение картины поля: а — детали со сложной геометрией воздушного зазора, имеющей два явных полюса; б — детали с одним явно выраженным полюсом.

Таким образом, магнитная проводимость будет:

Величина λ представляет собой магнитную проводимость на единицу длины в направлении оси OZ. Она зависит исключительно от конфигурации рассматриваемого участка магнитной цепи, зазоров, протяженности и т.д.

Если поле создается несколькими токами и может быть построено поле каждого тока в отдельности, то для построения результатирующего поля применяют графический метод наложения полей, предложенный Максвеллом. Магнитная проводимость определяет индуктивность и энергию поля всей цепи.