lab_fraktaly / лаб фракталы / Лаб_4 / Множество Мандельброта_1

Множество Мандельброта

  1. Множества Жюлиа

Будем рассматривать последовательности комплексных чисел {Z_n}. Возьмем произвольное комплексное число c. Теперь для любого комплексного числа k рассмотрим последовательность {Z_n(k)}:

Z₀ = k, Z_i+1= Z_i² + c

Зададим себе вопрос: сходится ли Z_n к нулю или стремится к бесконечности при n стремящемся к бесконечности? Пусть J – множество всех комплексных чисел {k}, таких что {Z_n(k)}стремится к 0, при n стремящемся к бесконечности. Если теперь мы возьмем все такие kи отобразим их на комплексной плоскости, то получим множество Жюлиа. Меняя c, мы получим бесконечный набор фантастических само подобных образов – множеств Жюлиа.

  2. Множество Мандельброта

Рассмотрим набор множеств Жюлиа и зададимся вопросом: связно ли данное конкретное множество Жюлиа? Пусть M – множество всех множеств Жюлиа, которые связны. Это множество и называется множеством Мандельброта. Теперь возьмем любое множество Жюлиа J, и комплексное число c, которое его породило. Если J содержится в M, то изобразим точку черным на комплексной плоскости, в противном случае белым. Это и дает нам того “своеобразного снеговика“, которого вы уже наверное видели миллион раз. Его - то мы и будем генерировать. К счастью, есть более легкий путь изображения множества Мандельброта, чем рисование каждого множества Жюлия и выяснения, связно ли оно. Наш метод будет очень близок к построению множеств Жюлиа. Опять рассмотрим итерационную последовательность для любого k, и выясним, сходится ли она к нулю.

Z_i+1= Z_i² + c

Заметим, что c здесь уже не константа.Для любой точки комплексной плоскости мы c присваиваем значение k и выполняем итерации. Этот метод, как ни странно, дает нам то же изображение множества Мандельброта. Итак, алгоритм:

For each point kon the complex plane do:

let x=0.

repeat infinite times:

x=x^2+k.

end repeat

if x goes to infinity,

k is not

in the set. Color is white.

else

k is in

the set. Color is black.

Понятно, что бесконечных циклов быть не должно. Поэтому возьмем некоторое большое число I и проитерируем I раз. Чем большее I мы взяли, тем, понятнее, точнее ответ мы получим. Из практики, число 4000 дает довольно хороший результат. Да, но 4000 раз “крутить“ цикл для каждого пиксела изображения, это многовато. К счастью, мы можем воспользоваться результатами многолетней работы математиков в этой области. Оказывается, если в любой конкретный момент вычислений, для k расстояние от z_i(k) начала координат больше 2, то мы можем принять, что данная {Z_n(k)} уйдет в бесконечность (При сравнении: расстояние < 2, поэтому его квадрат меньше 4 и корень извлекать не нужно). Итак, теперь наш алгоритм выглядит так:

For each point k in the complex plane do:

let x=0.

repeat 4000 times

let x=x^2+k

if x^2 > 4 then Color it white

Break.

end repeat

if we reached 4000 then

Color

it black.

Этот метод дает нам черно-белое изображение множества Мандельброта. Теперь надо подумать о том, как сделать его разноцветным.

  3. Цветное изображение

Если точка принадлежит множеству Мандельброта, то с ней все ясно – рисуем ее черным. Но как быть с точками, не принадлежащими множеству? Общепринятый способ выбора цвета для них – это выбирать цвет в соответствии с тем, как быстро {Z_n(k)} стремится к бесконечности (на какой итерации мы ее исключаем из рассмотрения). Например, точка, для которой расстояние до начала координат больше 2 уже на третьей итерации, должна быть почти белой, а та точка, которая “продержалась“ до 3995 итерации – почти черной. Перепишем алгоритм для изображения в градациях серого:

For each point k in the complex plane do:

let x:=0.

for i:=0 to 4000

let x=x^2+k

if ( |x|^2 > 4) then Color point k color i

Break;

end if

end for

if (i=4000)

Color

point k black.

end if

Конечно, просто рисовать точку цветом i мы не можем. Считая, что у нас есть только 256 градаций серого, а i меняется до 4000. Нам надо как-то отображать i на доступный нам диапазон цветов. Эту проблему мы оставляем вам. После того, как мы получили приличное изображение в градациях серого, очень легко чуть изменить алгоритм для получения цветного изображения. Например, в изображении в градациях серого, если точка вышла из области на n-ой, вы можете рисовать ее цветом (n, n, n). Можете попробовать и что-нибудь поинтереснее типа (n, 255 – n, 50 mod n * 3). Оставляем простор для вашей фантазии. И последнее: обычно, все множество Мандельброта расположено от -2 до 0.5 по действительной оси и от –1.25 до 1.25 по мнимой оси. Ваша программа не должна тестировать точки далеко за пределами этой области.

  4. Вот один из возможных исходников подобной программы.

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#include <math.h>

#include <dos.h>

#include <conio.h>

#define COLOR 100

#define MAS 0.9

typedef struct complex Complex;

void Sqr(Complex *z)

{

Complex Fool=*z;

z->x=Fool.x*Fool.x-Fool.y*Fool.y;

z->y=2*Fool.x*Fool.y;

}

char GetColor(Complex zInit)

{

Complex z=zInit;

int Color=COLOR;

while(z.x*z.x+z.y*z.y <= 4 && Color)

{

Sqr(&z);

z.x+=zInit.x;

z.y+=zInit.y;

Color--;

}

return Color;

}

void DrawMandelSet(double xMin,double xMax,double yMin,double yMax)

{

double xInc,yInc;

Complex zInit;

int y,x;

char far *Screen=(char far *)MK_FP(0xa000,0);

zInit.y=yMin;

xInc=(xMax-xMin)/320;

yInc=(yMax-yMin)/200;

for(y=0;y<200;y++,zInit.y+=yInc)

{

zInit.x=xMin;

for(x=0;x<320;x++,zInit.x+=xInc,Screen++)

*Screen=GetColor(zInit);

}

}

void main(void)

{

_AX=0x13;geninterrupt(0x10);

DrawMandelSet(-2*MAS,1*MAS,-1*MAS,1*MAS);

getch();

_AX=0x03;geninterrupt(0x10);}