Лекція 11

Явище теплового розширення твердих тіл. Дилатометрія

1. Причины теплового расширения твердых тел.

2. Закон Грюнайзена

3. Температурна залежність ТКЛР

4. Теплове розширення і міжатомний зв'язок.

5. Дилатометричні матеріали

1. Причины теплового расширения твердых тел.

Теплове розширення виражає зміну розмірів та обєму тіл, зумовлену

зміною температури. Будь-яке підвищення температури призводить до зміни характеристик коливань атомів навколо фіксованих (в твердих тілах)

положень рівноваги . При розгляді теплового розширення робити припущення про те, що коливання атомів мають гармонічний ( наприклад синусоїдальний ) характер , є недостатнім. Головною причиною теплового розширення твердих тіл є ангармонійний характер коливань атомів.

Если рассмотреть взаимодействие двух отдельно взятых атомов, находящихся в состоянии равновесия: сила притяжения равна силе отталкивания. Пусть один атом закреплен. Если вывести второй атом из положения равновесия, то он начнет колебаться относительно некоторого среднего положения. Если сила, возвращающая атом в положение равновесия, пропорциональна смещению, то есть выполняется закон Гука, то среднее положение атома не будет зависеть от амплитуды его колебаний. Если считать, что колебания атома возникают в результате нагревания, то получается, что средние размеры такой двухатомной модели тела от температуры не зависят. Потенциальная энергия двух таких атомов представляет собой параболу, которая соответствует гармоническим колебаниям (пунктирная линия, рисунок 1).

В действительности, энергия взаимодействия двух атомов должна быть изображена резко асимметричной кривой (сплошная линия, рисунок 1), являющейся результатом сложения двух разных кривых - кривой, соответствующей притяжению, и кривой, соответствующей отталкиванию атомов (рисунок 2). Чаще всего потенциальная энергия сил взаимодействия между атомами описывается с помощью потенциала Леннарда-Джонса:

где A и B - константы, r - расстояние между взаимодействующими атомами. Во всех случаях n>m и чем больше кривая энергии взаимодействия отклоняется от параболы, тем больше это неравенство. Итак, для левой части кривой (рисунок 1), изображающей потенциальную энергию взаимодействия двух атомов, основную роль играют силы отталкивания, для правой - силы притяжения, r₀ - равновесное расстояние между атомами, соответствующее минимуму потенциальной энергии. Пока амплитуда колебаний атома вблизи положения равновесия мала, действующая на него сила пропорциональна смещению F=-a x (гармоническое приближение). С ростом амплитуды колебаний сила отталкивания между атомами при их сближении возрастает быстрее, чем сила притяжения при удалении одного атома от другого. Следовательно, сила, действующая на атом, в этом случае не является линейной функцией смещения

Рассмотрим колебания одного атома относительно другого при заданной полной энергии в классическом приближении. Пусть различные значения полной внутренней энергии изображены горизонтальными линиями (рисунок 3). В положении равновесия потенциальная энергия

колебания атома равна нулю, а его кинетическая энергия максимальна. Максимальная величина потенциальной энергии достигается при наибольшем смещении атома из положения равновесия и соответствует точкам пересечения кривой потенциальной энергии колебаний атома с горизонтальной прямой внутренней энергии W. По мере возрастания внутренней энергии атома W₁, W₂, W₃... растет амплитуда его колебаний. При этом смещение атома вправо больше, чем смещение его влево. Как результат, среднее равновесное положение между атомами (отмечено точками на рисунке 3) отклоняется от r₀ вправо и тем больше, чем больше полная внутренняя энергия колеблющегося атома. Следовательно, возрастание полной внутренней энергии ( или температуры) атома приводит к тому, что среднее расстояние между атомами увеличивается. Для кристалла это означало бы, что с возрастанием энергии (температуры) он будет обязательно расширяться.

Из этой простой двухатомной модели можно попытаться вывести силу ангармонического взаимодействия f_a. Для малых колебаний атомов кристалла вблизи положения равновесия потенциальную энергию атома U(r) можно разложить в ряд по степеням смещения атомов относительно положения равновесия. Ангармонизм в этой модели учитывается членом третьего порядка в разложении потенциальной энергии колебаний:

Положим ;, , , .

Тогда, учитывая, что , получим

,

где

a - коэффициент квазиупругой силы, b - коэффициент ангармоничности.

Сила, действующая на колеблющийся атом со стороны условно закрепленного атома, равна

. (2)

Среднее значение силы, действующей на колеблющийся атом, равно нулю, то есть

. (3)

Знайдемо середнє значення відхилення атомів від положення рівноваги, яке

визначає зміну розмірів тіла при зміні температури. Для цього

використовують функцію розподілу Больцмана , яка дозволяє провести усереднення значення фізичної величини з урахуванням термодинамічної

імовірності відповідних значень :

Якщо зміщення атомів досить малі (мала ангармонічність їх коливань) , то

підінтегральний можна розкласти в ряд , а для середнього зміщення отримати вираз :

, (4)

где - коэффициент теплового расширения.

Таким образом, средняя сила ангармонического взаимодействия (асиметрія взаємного відштовхування)

. (5)

Метали і сплави як правило розширюються при нагріванні і звужуються при охолодженні. Розширення чи звуження твердого тіла –зміна міжатомної відстані в гратці.

Припускаємо, що атом В-рухається, а атом А не змінює свого положення. При Т2  Т1. Об'ємне теплове розширення характеризується температурним коефіцієнтом об'ємного розширення

ТКОР і позначаєтьсяβ, V - об'єм.

Для ізотропних матеріалів α₁=α₂=α₃ β = 3α

Термічне розширення некубічних анізотропних кристалів-анізотропно

Β=α₁+α₂+α₃

Де α_і-це ТКЛР уздовж головних осей кристалу.

Zn ГЩУ60K α₁ =α₂ =2·10^-6 K^-1 α=55·10^-6 K^-1