5.5. Континуум-гіпотеза

При дослідженні потужностей нескінчених множин був встановлений той факт, що множина кардинальних чисел є лінійно впорядкованою. Лінійна впорядкованість означає, що для кожного кардинального числа існує кардинальне число, яке безпосередньо слідує за ним. ₀є найменшим трансфінітним числом. Але нічого невідомо про те, яке трансфінітне число є наступним за₀. Існує тільки припущення, яке називається континуум-гіпотезою.

Континуум-гіпотеза. Кардинальне числобезпосередньо слідує за₀.

Це означає, що ₀<і між ними немає жодного іншого кардинального числа. Цей факт потребує доведення. Ми нічого не знаємо про множини, які незлічені, але менші ніж континуальні. Не знаємо навіть, чи існують такі множини. Відсутність прикладів подібних множин не є доведенням неможливості їх існування, тому твердження про безпосереднє слідуванняза₀є гіпотезою, а не теоремою.

Можна піти далі і сформулювати більш загальне твердження.

Узагальнення континуум-гіпотези. Для будь-якого кардинального числакардинальне число 2^безпосередньо слідує за. Звідси слідує, що послідовність кардинальних чисел необмежена:₀<<<...

Дійсно, є потужність множини-степеніP(N) (замістьNможе бути будь-яка інша нескінчена множина). Але з цієї множини можна утворити знову множину всіх її підмножинP(P(N)), потужність якої є , і цей процес можна продовжувати до нескінченності. Звідси слідує, що не існує найбільшого трансфінітного числа.

Намагання довести континуум-гіпотезу в якості теореми були безуспішні, а у 1963 році Коен довів, що континуум-гіпотеза нерозв’язана – її неможливо ні довести, ні спростувати, можна тільки прийняти її або протилежне їй твердження в якості аксіоми.