5.4. Незлічені множини

Теорема 5.7.Якою б не була множина А, множина її підмножин має потужність, яка строго більша потужності А.

Ця теорема показує, що послідовність трансфінітних кардинальних чисел не обмежена.

Доведення. Припустимо, що існує сюр’єкціяf:AP(A), тобто сюр’єкціяfмножини А на множину її підмножинP(A). Тоді дляxA f(x)є елементом Р(А), тобто деякою підмножиною А. Позначимо через В підмножину А, яка утворена з такихxA, щоxf(x). Так як ВР(А), то в А існує принаймні один елементyтакий, щоf(y)=B. Якщоyf(y)=В, то, за визначенням множини В,yB, що неможливо. Якщоyf(y)=В, тоyB. В обох випадках ми приходимо до протиріччя.

Однак, оскільки існує ін’єкція А в Р(А), а самеx{x}, то А має потужність, яка менша за потужність Р(А), а, значить, і строго менша потужності Р(А). ►

Теорема 5.8.Якщо множина А нескінчена, то множина Р’(А) скінчених підмножин А рівнопотужна множині А.

Цю теорему легко довести, проводячи міркування аналогічно тим, які наведені у прикладі про потужність всіх скінчених послідовностей натуральних чисел.

Означення 5.5.Характеристичною функцієюдеякої підмножини В множини А називається функція_В, яка визначена на А та приймає значенні в множині{0,1}, така, що_В(x)=1, якщоxВ, та_В(x)=0, якщоxВ.

Визначення цієї функції однозначно визначає підмножину (частину) В множини А. Тоді кожній підмножині буде відповідати характеристичний вектор, який містить 0 та 1. Наприклад, якщоA={a,b,c}, то підмножиніB={a,c} буде відповідати вектор_В=(1,0,1), підмножині В={b} – вектор_В=(0,1,0) і т.д.

Характеристична функція (х) задає множину відображень: А{0,1}, тобто{0,1}^A. Тоді існує бієкція множини-степені Р(А) множини А на множину відображень: А{0,1}. Дійсно, кожній підмножині В множини А (BP(A)) можна поставити у відповідність один і тільки один вектор_В. Так само, кожному вектору_Вможна знайти відповідну підмножину В множини А. Отже множиниP(A) та {0,1}^Aрівнопотужні, тобто кардинальне число множини Р(А) єcard{0,1}^E = 2^cardE.

Тепер теорему 5.7 можна сформулювати наступним чином. Яким би не було кардинальне число , 2^>.

Так, . Звідси випливає, що існують незлічені множини.

Ми показали, що множина всіх скінчених послідовностей натуральних чисел злічена. Можна довести, що множина всіх нескінчених послідовностей натуральних чисел є незліченою. Ця множина є нічим іншим, як множиною всіх відображень :N{0,1}, тобто {0,1}^N, і потужність цієї множини дорівнює. Але множину всіх нескінчених послідовностей натуральних чисел можна також інтерпретувати як множину всіх функцій, визначених наNі приймаючих значення вN, тобто як множину функціональних відображеньf(n):NN, тобтоN^N, відповідно, потужність цієї множини є. Оскільки ці дві множини рівнопотужні, то отримуємо, що=.

Теорема 5.9(Кантора). Множина дійсних чисел з інтервалу (0,1) незлічена.

Доведення. Для доведення скористаємось діагональним методом Кантора. Будемо представляти будь-яке число з інтервалу (0,1) у вигляді нескінченого десяткового дробу. Скінчені дроби також можна представити у такому вигляді, наприклад, число 0,5 може бути записано як 0,49999...

Припустимо, що множина цих чисел злічена. Тоді їх можна записати у вигляді списку. Побудуємо цей список і запишемо його у вигляді таблиці, де представлені десяткові частини чисел:

	1	2	3	…	k	…
a1	a11	a12	a13	…	a1k	…
a2	a21	a22	a23	…	a2k	…
a3	a31	a32	a33	…	a3k	…
…	…	…	…	…	…	…
ak	ak1	ak2	ak3	…	akk	…
…	…	…	…	…	…	…

Утворимо тепер нескінчене антидіагональне число b = b₁b₂…b_k… за правилом:i-й розряд числаb_iбуде дорівнювати 1+a_ii, якщоa_ii9 і 8 (або будь-якому іншому числу, відмінному від 9), якщоa_ii=9. Якщо множина чисел з (0,1) злічена, то побудоване числоbповинно увійти у цей список з яким-небудь номером, наприклад, з номеромk: b=a_k. Але тодіb₁ =a_k1 =a₁₁+1,b₂ =a_k2 =a₂₂+1,…,b_k =a_kk =a_kk+1, що неможливо. Відповідно, множина дійсних чисел з інтервалу (0,1) незлічена. ►

Означення 5.6.Потужність множини (0,1) називаєтьсяпотужністю континууму. Потужність континууму позначається₁(алеф-один).

Потужність континуума – це потужність множини дійсних чисел R, тобтоcardR=₁, тому що існує бієкція (0,1)R.

Наприклад, множина всіх точок Rⁿз раціональними або алгебраїчними координатами злічена, тому що її кардинальне число дорівнює₀ⁿ =₀, а множина всіх точокRⁿз дійсними координатами незлічена і дорівнює континууму.

Теорема 5.10.Мають місце рівності:

m₁=₀₁=₁₁=₁^m= =₁, деm1 – ціле.

Доведення.Всі ці кардинальні числа не більше і не менше₁, тому достатньо показати, що =₁.

Дійсно, = = ==₁.

Але треба довести, що =₁. Якщо взяти числа з А = (0,1), такі, що в їх зображенні присутні числа 0,1,2,...,7, то ця множина буде рівнопотужна множині {0,1,2,3,4,5,6,7}^N, відповідно, її потужність дорівнює. Сама множина А має потужність(ми пишемочерез подвійність запису десяткового числа). ТомуcardA, звідки cardA===. ВідповідноcardA=. З іншого боку,cardA=₁. Отже=₁. ►

Наприклад, множина комплексних чисел має потужність континуум, через те що вона рівнопотужна R²: ₁² =₁.Будь-який векторний простір скінченого числа вимірівnнад полем дійсних чисел або комплексних чисел має потужність континуум.

Множина всіх дійсних функцій дійсних змінних має потужність, яка є строго більшою за потужність континуума, тому що її потужність дорівнює , а = = = =>₁.