14.2. Логічне слідування

Означення 14.4. Якщо А та В – формули, то кажуть, що В логічно слідує з А, або з А логічно випливає В, якщо всюди де А приймає істинне значення, В також приймає істинне значення. Це позначається як А╞В або АВ.

Кажуть, що логічне слідування зберігає істинність.

Теорема 14.1. Логічне слідування А╞В виконується тоді і тільки тоді, коли формула АВ – тавтологія.

Доведення. Нехай логічне слідування А╞В виконується. Це означає, що на всіх інтерпретаціях, на яких формула |A|=T, формула |B|=T, відповідно, |AВ| = T. Якщо формула |A|=F, то |AВ| = T незалежно від значень В, відповідно, формула AВ – тавтологія.

Припустимо тепер, що формула AВ – тавтологія. Тоді не існує такої інтерпретації, на якій |AВ| = F. Відповідно, якщо формула |A|=T, то й |B|=T, що відповідає означенню логічного слідування, тобто А╞В. ►

Означення 14.5. Формула В логічно слідує з формул А₁,...,А_n, всюди де А₁,...,А_n приймають істинні значення одночасно, формула В також приймає істинне значення. Це позначається А₁,...,А_n╞В.

Теорема 14.2. (1) А₁,...,А_n╞В тоді і тільки тоді, коли А₁...А_nВ – тавтологія. (2) А₁,...,А_n╞В тоді і тільки тоді, коли А₁...А_nВ суперечність.

Доведення. Частина (1) доводиться аналогічно попередній теоремі. Доведемо частину (2). З частини один маємо, що А₁,...,А_n╞В тоді і тільки тоді, коли А₁...А_nВ. За означенням тавтології, маємо, що (А₁...А_nВ) – суперечність. Звідси маємо:

(А₁...А_nВ) = ((А₁...А_n) В) = (А₁...А_n) В = А₁...А_n В ►

Означення 14.6. Якщо А╞В і В╞А, то формула А логічно еквівалентна формулі В. Це позначається як АВ або АВ.

Якщо формула А логічно еквівалентна В, то А~В – тавтологія.

14.3. Тавтології

Наступні теореми о тавтологіях надають можливості отримувати нові тавтології з доведених раніше.

Теорема 14.3 (правило modus ponens). Якщо А – тавтологія і АВ – тавтологія, то В – тавтологія, тобто якщо ╞А та ╞АВ, то ╞В.

Доведення. Припустимо, що на деякій інтерпретації |B|=F. Тоді |AF|=T на тій же інтерпретації (за умовами теореми). Відповідно, |A|=F, що неможливо, так як А – тавтологія. ►

Правило modus ponens (скорочено MP) встановлює логічне слідування А, АВ╞ В і має назву правила відділення.

Правило MP виражає елементарний акт дедукції. Імплікацію АВ, яка за означенням має зміст “якщо А, то В”, можна інтерпретувати, як правило, в якому А є “засновком”, а В – “наслідком”. Тоді правило МР говорить про те, що наслідок В наступає при виконанні умови А, тобто при істинності засновку. Наприклад, формула АВ може виражати таке правило: “якщо бачиш зеленого чоловічка, то можна переходити дорогу”. Ми чекаємо моменту, щоб побачити зеленого чоловічка на світлофорі, тобто неявно використовуємо правило МР: коли засновок стає істинним (зелений чоловічок), то істинний і наслідок (можна переходити дорогу). Тим самим ми виконуємо елементарний акт дедукції: з істинності засновків ми виводимо істинні наслідки. Дійсно, цей вивід правильний тільки в тому випадку, коли правило АВ істинно.

Теорема 14.4 (правило підстановки). Якщо А – тавтологія, що містить пропозиційні змінні x₁,…,x_n, то формула В, яка отримується з А підстановкою формул А₁,...,А_n замість кожного входження x₁,…,x_n відповідно, також буде тавтологією.

Доведення. Нехай задано істинний кортеж значень пропозиційних літер, що входять у В. Формули А₁,...,А_n для цього кортежу приймуть деякі значення ₁,..., _n, де _iє T або F. Якщо такі значення надати пропозиційним літерам x₁,…,x_n, то значення формули А співпаде зі значенням формули В. Так як А – тавтологія, то значення В на цьому кортежі буде Т. Таким чином В на довільному істинному кортежі буде приймати значення Т. Відповідно, В – тавтологія. ►

Наприклад, формула C(DC) – тавтологія. Підставимо EC замість C, отримуємо нову тавтологію: ╞ EC  (D EC). Таким чином, кожну тавтологію можна розглядати як схему, з якої за допомогою підстановки можна отримувати нескінченну множину тавтологій.

Теорема 14.5 (правило еквівалентної заміни). Якщо В отримується з А підстановкою формули B₁ замість одного або декількох входжень підформули А₁ до А, то ((A₁~B₁)(A~B)) є тавтологія, і, відповідно, якщо A₁ та B₁ логічно еквівалентні, то А та В також логічно еквівалентні.

Іншими словами, якщо є тавтологія А, то в ній є підформула А₁, і якщо замінити А₁ на еквівалентну їй формулу B₁, то отримана формула B буде еквівалентна А.

Доведення. Розглянемо довільний кортеж пропозиційних літер, що входять до A,B,A₁,B₁. Якщо при цьому кортежі A₁ та B₁ мають різні значення, то |A₁~B₁|=F і, відповідно, ((A₁~B₁)(A~B)) набуде значення T. Якщо ж A₁ та B₁ набувають однакових значень, то однакові значення істинності приймуть А та В, так як В відрізняється від А тільки тим, що деякі входження підформули А₁ замінені в ній на В₁, яка має теж саме значення істинності. Відповідно, в цьому випадку, якщо |A₁~B₁|=T, то й |A~B|=T, і ((A₁~B₁)(A~B)) є тавтологія. ►

Наприклад., у тавтології C(DC)замінимо підформулу DC на еквівалентну їй формулу DC, отримаємо нову тавтологію C(DC).